Riconoscimento di una conica

Esaminiamo dapprima il problema del riconoscimento di una conica degenere e della ricerca delle rette componenti. Il problema, come gi accennato, consiste nello stabilire se il polinomio che individua la conica si pu scomporre; nei casi pi semplici la scomposizione immediata. Vediamo come si pu procedere in generale, prendendo spunto da un esempio.

2x2 - xy - y2 + 3x + 3y - 2  = 0

Ordiniamo l'equazione per esempio nella variabile y:

y2 + (x - 3) y - 2x2 - 3x + 2 = 0

Il discriminante di tale equazione un quadrato perfetto quindi si pu esprimere la y linearmente rispetto alla x e pertanto la conica si spezza in due rette; dopo semplici calcoli si ottiene:

(y + 2x - 1) (y - x - 1) = 0

In generale se almeno una delle variabili di secondo grado si procede come nell'esempio precedente: la conica sar degenere se il discriminante dell'equazione relativa un quadrato perfetto. Se nessuna delle due variabili di secondo grado avremo un'equazione del tipo:

axy + bx + cy + d = 0   (con a diverso da zero). Si presentano le seguenti possibilit:

  1. d = 0: la conica degenere solo se c = 0 o anche b = 0;
  2. se c = 0 (o b = 0) deve essere d = 0;
  3. se b, c, d sono diversi da zero si ha:

x (ay+b) + (cy + d) = 0;

il primo membro sar scomponibile se

ay + b = k(cy + d), con k non nullo; come dire:

a = kc, b = kd

ovvero

a/c = b/d , ad - bc = 0.

Esempi:

2xy = 0, xy + x = 0 , xy +3y = 0, xy + x + y +1 = 0.

 

Prima di esporre il procedimento per riconoscere una conica non degenere si porga l'attenzione alle possibili intersezioni con una generica retta parallela ad uno degli assi cartesiani:

  1. un'ellisse, comunque disposta nel piano, ha due intersezioni con una generica retta x=h, per h'hh''; lo stesso dicasi per una generica retta del tipo y=k, per k'kk''.

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2. Un'iperbole equilatera con gli asintoti paralleli agli assi cartesiani ha un'intersezione con ogni retta parallela ad uno degli assi cartesiani (escluse le rette che individuano gli asintoti).

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3. Un'iperbole diversa da quelle esaminate nel punto precedente ha due intersezioni con una retta del tipo x=h oppure y=k in una zona del piano esterna ad una striscia ( ovvero per hh', hh'', kk', kk'').

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4. Una parabola, comunque disposta, ha due intersezioni con una retta del tipo x=h oppure y=k in un semipiano (cio per hh' oppure hh''; per kk' oppure kk'').

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Detto questo facile intuire come lo studio delle intersezioni con una generica retta parallela ad uno degli assi cartesiani permetta di riconoscere in maniera inequivocabile il tipo di conica.

Vediamo alcuni esempi:

  1.                     2x2 + xy - y2 +3x - y = 0

Il discriminante dell'equazione ordinata rispetto alla x risulta

9y2 + 14y + 9

che non un quadrato perfetto (quindi la conica non degenere); risulta:

9y2 + 14y + 9 0

per ogni valore di y: ci vuol dire che una qualsiasi retta  y = k interseca la conica in due punti reali e distinti: non potremo avere n un'ellisse n una parabola; la conica pertanto un'iperbole.

Notiamo che se ordiniamo l'equazione rispetto alla y ci accorgiamo che una generica retta del tipo x = h interseca la conica in due punti reali per

h -1 oppure per  h -1/9

 

2)                          x2 - 4xy + 4y2 + 4y = 0

Il discriminante dell'equazione ordinata rispetto alla x   -4y, che non un quadrato perfetto e quindi la conica non degenere; essendo

-4y 0 per y 0

possiamo dire che la conica ha punti reali in un semipiano e, in base a quanto osservato precedentemente, non pu che essere una parabola.

3)                     x2 - xy + y2 + x - y = 0

Il discriminante dell'equazione ordinata rispetto alla x

-3y2 + 2y + 1

che non un quadrato perfetto (la conica irriducibile) ed

-3y2 + 2y + 1 per    -1/3 y 1

Questo basta per dire che la conica un'ellisse (che l'unica conica non degenere che pu avere punti reali solo in una striscia).

Un analogo studio delle intersezioni con una generica retta parallela all'asse delle y porta alla conclusione che la conica ha punti reali in un quadrato con i lati paralleli agli assi cartesiani (-1 x 1/3).

Osservazione

Oltre al modo visto negli esempi precedenti si pu ricorrere alle particolari simmetrie possedute dalle coniche reali non degeneri per riconoscerne il tipo. E' noto infatti che l'ellisse e l'iperbole possiedono un centro di simmetria e due assi (ortogonali) di simmetria (sono dette per questo coniche a centro); la parabola ha invece un solo asse di simmetria (ortogonale).

Una conica del tipo       Ax2 + Bxy + Cy2 + D = 0

essendo simmetrica rispetto agli assi cartesiani (scambiando x in -x e y in -y l'equazione non cambia) non pu essere una parabola.

In generale si pu procedere in questo modo:

 

IL TEOREMA SUL RICONOSCIMENTO DI UNA CONICA.

La conica di equazione

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

            b2 - 4ac = 0

            b2 - 4ac < 0

            b2 - 4ac > 0.


DIMOSTRAZIONE

Ordinando l'equazione rispetto alla x si ottiene il discriminante

(b2 - 4ac) y2 + (2bd - 4ae) y + d2 - 4af

  1. Se b2 - 4ac = 0 avremo punti reali in un semipiano: la conica in tal caso una parabola; se anche 2bd - 4ae = 0 avremo una conica degenere in due rette parallele, immaginarie se d2 - 4af < 0.

  2. Se b2 - 4ac < 0 il suddetto discriminante 0 per valori interni (ed in tal caso la conica ha punti reali in una striscia e pertanto un'ellisse) oppure sempre negativo o nullo ed in tal caso una conica completamente immaginaria oppure degenere in punto.

  3. Con un ragionamento analogo si scopre che quando
    b2 - 4ac > 0 si ha un'iperbole o una conica degenere in due rette incidenti.

OSSERVAZIONE

La dimostrazione precedente permette di affermare che una conica una parabola (eventualmente degenere in due rette parallele) se e solo se il complesso dei termini di secondo grado un quadrato perfetto; una parabola ha quindi equazione del tipo

(ax + by)2 + cx + dy + e = 0

Si dimostra anzi che la retta di equazione ax + by = 0 parallela all'asse della parabola.