Riduzione a forma canonica dell'equazione di una conica

Ci proponiamo di trasformare l'equazione generale di una conica (reale non degenere) in una più semplice, eseguendo una traslazione e/o una rotazione degli assi cartesiani in modo che:

Vediamo come procedere con alcuni esempi.

  1. esempio4_1.gif (1187 byte)
  2. Con uno dei metodi visti si stabilisce che la conica è una parabola non degenere. Cominciamo col trasformare l'equazione in una del tipo

    Y = AX2 + BX + C

    mediante una rotazione degli assi cartesiani, le cui equazioni sono del tipo:

    Sostituendo nell'equazione di partenza ed imponendo che si annullino i coefficienti di Y2 e XY si ottiene

    e scegliendo, per esempio,

    si ottiene l'equazione Y=X2+2X, che ha il vertice nel punto V=(-1;-1); basterà ora eseguire la traslazione che porti l'origine degli assi cartesiani in V: X=x'-1, Y=y'-1.

    Si ottiene l'equazione y'=(x')2, che è la forma canonica richiesta.

    E' anche possibile determinare il vertice e l'asse di una generica parabola: dopo averla trasformata in una con asse parallelo all'asse delle ordinate, si trovano il vertice e l'asse rispetto al nuovo sistema di riferimento e, mediante la rotazione inversa, si possono ottenere vertice ed asse nel sistema di riferimento di partenza.

     

  3. x2 - xy + y2 - 4x = 0
  4.  

    Si verifica facilmente che la conica è un'ellisse reale non degenere. Si esegue una traslazione di assi in modo che la conica venga ad avere il centro nell'origine:

    x=X+a', y=Y+b';

    si sostituisce nell'equazione di partenza e si impone che si annullino i termini di primo grado in X ed Y; si ottiene:

    a' = 8/3, b' = 4/3;

    la nuova equazione è:

    X2 - XY + Y2 - 16/3 = 0

    (notare come i coefficienti dei termini di secondo grado non cambino).

    Si esegue ora una rotazione che porti ad annullare il termine XY:

    (*)

    sostituendo nell'equazione in X, Y ed annullando il termine in x'y' si ottiene

    e scegliendo, per esempio, il valore positivo si arriva alla forma canonica

    3(x') 2 + 9(y') 2 = 32

    N.B.

    Si può dimostrare che il valore di alfa che annulla il coefficiente di XY è quello per cui

    (cotg è la cotangente)

    con b non nullo (se b=0 manca già il termine xy nell'equazione di partenza!)

     

    Notare come il procedimento utilizzato permetta anche di trovare il centro e gli assi della conica.

     

  5. In modo del tutto analogo si procede nel caso di un'iperbole.