Le coniche da un punto di vista analitico

Ricordiamo che in geometria analitica si chiama curva l'insieme dei punti le cui coordinate soddisfano un'equazione del tipo f(x,y) = 0. Se il primo membro di tale equazione è un polinomio (o si può ricondurre ad un polinomio) la curva è detta algebrica, altrimenti trascendente. Il grado del polinomio che individua una curva algebrica è detto ordine della curva.

DEF. 2.1 Chiamasi conica una curva algebrica del secondo ordine (a coefficienti reali) ovvero una curva di equazione

(1)             f(x,y) = ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

Si osservi come tutte le coniche note (reali non degeneri) abbiano un'equazione che rientra nel tipo (1).

Segnaliamo ora alcuni esempi di coniche degeneri, dopo aver ricordato che dal punto di vista analitico una conica è degenere se l'equazione che la rappresenta è soddisfatta da un unico punto reale (esempio 4x² + 5y² = 0) oppure se il polinomio che la individua è scomponibile.

1) Conica degenere in due rette reali distinte

            x (x+y) = 0                 (tipo iperbolico)

            (x - 1 ) ( x + 1) = 0     (tipo parabolico)

2) conica degenere in due rette reali coincidenti

            (x + y +1)(x + y + 1) = 0

Segnaliamo ora un esempio di conica completamente immaginaria:

3x² + 4y² = -1

Ovviamente non esiste alcuna coppia di numeri reali (x;y) che soddisfa l'equazione. Ripetiamo che tale conica è detta ellisse immaginaria perchè, come vedremo, rientra nel tipo ellittico.