Maturità ordinaria 1995-96

(Sessione suppletiva)

l. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione:

dove a, b sono parametri reali.

Trovare quale relazione lega questi parametri quando le curve considerate hanno un punto di massimo ed uno di minimo relativi e stabilire a quali altre condizioni devono soddisfare a e b affinché tali punti, quando esistono, abbiano ascisse dello stesso segno.

Tra le curve assegnate determinare la curva k avente gli estremi relativi nei punti A, B di ascisse 1 e 3 rispettivamente e disegnare l'andamento.

Calcolare infine l'area della regione piana delimitata dalla curva k e dalla retta y = q, dove q è l'ordinata del punto B.

2. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione:

dove a, b , c sono numeri reali.

Determinare tra queste le due curve k₁ e k₂ che passano per l'origine e per il punto A (2, 0 ) e sono tangenti all'asse delle ascisse rispettivamente in 0 e in A.

Disegnare l'andamento di k ₁ e di k_2.

Considerata la regione piana R delimitata dagli archi k₁ e k₂ aventi gli estremi in 0 e in A, calcolarne l'area e trovare tra le sue corde parallele all'asse delle ordinate quella di lunghezza massima. Calcolare poi l'area del quadrilatero convesso avente per vertici gli estremi di questa corda e i punti O e A.

Verificare che le equazioni delle due curve k₁ e k₂ si trasformano una nell'altra con la sostituzione

ed esprimere questa proprietà in termini geometrici.

3. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, risulta:

dove a è una lunghezza nota.

Indicato con D un punto della semicirconferenza di diametro BC, non contenente A, esprimere l'area S del triangolo ABD in funzione dell'ampiezza x dell'angolo BAD.

Constatato che si ha:

studiare questa funzione e disegnarne l'andamento con riferimento alla questione geometrica.

Utilizzare il disegno ottenuto al fine di calcolare per quali valori di x l'area S risulta uguale a k a², dove k è un parametro reale.

Determinare infine il perimetro del triangolo ABD per il quale è massima l'area S.