MaturitÓ ordinaria 1998 - Soluzione quesito 1

a)

 y = ax3 + 3x + b

y'=3ax2+3=0

tale equazione ammette due soluzioni se e solo se a<0; quindi:

esistono massimo e minimo realtivo se e solo se a<0;

non esistono massimo e minimo realtivo se e solo se a>0.

b)

Determiniamo a in modo che siano soddisfatte le condizioni richieste.

y'=0 quando

y"=6ax;

quindi nel primo caso c'Ŕ il massimo relativo e nel secondo il minimo relativo.

I valori di a e b si ottengono risolvendo il sistema

Ricavando b dalla prima equazione e sostituendo nella seconda si ottiene (razionalizzando) l'equazione

128a3+96a2+18a+1=0 (con a<-3/8)

che si abbassa di grado con a = - 1/2, mediante la regola di Ruffini:

(a+1/2)(128a2+32a+2)=0 per a= - 1/2 e a = - 1/8 (non accettabile).

La soluzione richiesta Ŕ quindi a = - 1/2.

Sostituendo nella prima equazione del sistema si ottiene

.

La curva g richiesta ha quindi equazione

c)

Tale curva ha i seguenti punti caratteristici:

ed il suo grafico Ŕ il seguente:

 

 

 

d)

L'area richiesta si ottiene calcolando il seguente integrale