Oltre che con il tradizionale metodo dell'analisi matematica, la curva può essere velocemente studiata notando che, scritta nella forma

2xy = x²-1

essa è una conica, ed in particolare un'iperbole di asintoti

x=0 e y=(1/2)x

come si può, tra l'altro, notare subito scrivendo la funzione nella forma

La curva taglia l'asse delle ascisse nei punti

A=(1;0) e B=(-1;0)

Il suo grafico è pertanto il seguente

Il centro della circonferenza richiesta si trova sull'asse di AB (che è l'asse y) e sulla normale alla tangente in A all'iperbole.

Per trovare l'equazione della tangente in A all'iperbole calcoliamo la derivata dell'equazione di partenza:

il coefficiente angolare della tangente in A è

y'(1)=1

L'equazione della normale in A:

y=-x+1

che interseca l'asse y nel punto C=(0;1), che è il centro della circonferenza.

Il raggio è dato, per esempio, dalla distanza di C da A ed è

La circonferenza C" ha quindi equazione:

x²+(y-1)²=2 ==> x² + y²- 2y -1 = 0.

Cerchiamo l'ulteriore punto di intersezione tra C' e C":

Questo sistema conduce all'equazione

5x⁴ - 4x³ -6x² + 4x + 1 = 0

che si abbassa di grado due volte con x=1 (punto di tangenza!) e una volta con x=-1;

si ottiene così la soluzione

Rappresentiamo le due curve nello stesso sistema di riferimento:

Il coefficiente angolare della tangente in B alla circonferenza è uguale a -1 (opposto, per simmetria, di quello della tangente in A);

il coefficiente angolare della tangente in B all'iperbole è y'(-1)=1.

Ne segue che le due tangenti sono perpendicolari, quindi

C' e C" si secano in B secondo un angolo retto.

A₁=A(zona azzura) + A(zona verde)

A₂=area cerchio - A₁

La zona azzurra è un segmento circolare ad una base, la cui area si può trovare per differenza tra il settore circolare PCB ed il triangolo PCB.

Cerco l'angolo BCP:

m_BC=1

m_PC=-7

|tg (BCP)|=4/3 ==> tg(BCP)= - 4/3 (N.B. l'angolo BCP è ottuso);

Sussiste la seguente proporzione:

area settore: area cerchio= angolo settore:2p

da cui si ottiene

Cerco l'area del triangolo BPC:

distanza di C dalla retta BP =

Cerco l'area delimitata dalla retta BP e dall'iperbole (zona verde):

equazione retta BP:

y = 3x + 3

L'area della zona verde si ottiene mediante l'integrale:

Sia ha pertanto:

A₁ = arctg(-4/3) - 4/5 + 6/5 -ln(5)/2

A₂ =2p - A₁