La condizione è necessaria ma non sufficiente. Si tratta del cosiddetto TEOREMA DI FERMAT, secondo cui:

Per definizione di derivata si può dire che

Supponiamo che f ' (x₀) non sia nulla e sia, per esempio, f ' (x₀) > 0.

In base al teorema della permanenza del segno esiste un intorno I di x₀ in cui risulta

Ma allora in I risulta che:

• Se x>x₀ Þ f(x)>f(x₀)
• Se x<x₀ Þ f(x)<f(x₀)

e quindi x₀ non può essere punto di massimo né di minimo.

In modo del tutto analogo si ragiona nel caso in cui sia f ' (x₀) < 0.

N.B. Un'altra dimostrazione è quella che viene di solito presentata sui libri di testo nell'ambito della dimostrazione del teorema di Rolle.

1. Per verificare che la condizione non è sufficiente si consideri ad esempio la funzione di equazione

y = x³.

2. I punti a derivata nulla sono detti punti stazionari:
   
   
   

 

3. Il punto x₀ di cui si parla nel teorema (e nel quesito) deve essere INTERNO all'insieme di definizione, altrimenti il teorema non vale; in un estremante relativo di frontiera infatti la derivata non è necessario che si annulli:

Si calcola la derivata:

Per determinare i valori di a e b si deve risolvere il sistema

che conduce al sistema:

la cui soluzione è a = 2 e b = -1. La funzione richiesta ha quindi equazione:

• La funzione è definita per ogni x ¹ 1/2

• Il limite all'infinito è sempre + infinito; non c'è asintoto obliquo, essendo la funzione un infinito del secondo ordine sia al +infinito che al -infinito:

• x = 1/2 è asintoto verticale
  
• ; dallo studio della derivata si scopre che il punto (0;0) è un flesso a tangente orizzontale e, come già noto, che

è un minimo relativo.

• ; dallo studio della derivata seconda si ritrova il flesso (0;0) e si scopre che la concavità del grafico è verso l'alto per x<0 e per x>1/2, verso il basso per 0<x<1/2. Il grafico della funzione è quindi il seguente: