Sessione ordinaria - Indirizzo d'ordinamento 1999
Soluzione quesito 2

a)

 

Per comoditÓ grafica si Ŕ posta l'unitÓ di misura uguale al raggio R della circonferenza.

 

Rispetto al sistema fissato la circonferenza k ha equazione

x2 + y2 = R2

 

 

 

 

 

 

b)

Indicato con V il vertice della parabola p, in base al Teorema di Archimede deve essere:

La parabola passa per A, B e per il punto V = (0;-2R). La generica parabola per A e B ha equazione del tipo:

y = a ( x - R ) ( x + R ) = a ( x2 - R2 )

ed imponendo il passaggio per V si ottiene a = 2/R; la parabola ha quindi equazione:

 

c)

Per trovare i punti comuni alla circonferenza e alla parabola si deve risolvere il sistema

I punti comuni alle due curve sono quindi:


 

d)

La parabola divide il cerchio in tre regioni, due delle quali hanno ugual area.

Calcoliamo l'area della regione del quarto quadrante delimitata dagli archi BC di parabola e di circonferenza; indicata con S tale area, si ha:

S = area settore circolare OBC- area triangolo OHC- area triangolo mistilineo HBC individuato dalla parabola.

Essendo la misura del cateto HC metÓ del raggio OC si ha che l'angolo in O del triangolo OHC misura 30░. Si ha pertanto:

L'area S richiesta vale quindi:

Questo Ŕ anche il valore dell'area della regione del terzo quadrante delimitata dalle due curve.

La terza regione si ottiene sottraendo all'area del cerchio 2S; si ha quindi:


 

e)

Deve essere:

 

N.B.

Quasi certamente l'estensore del quesito voleva indicare il valore

che portava al semplice valore R=2.