Sessione ordinaria - Indirizzo d'ordinamento 1999
Soluzione quesito 3

a)

 

Poniamo AB = R. L'angolo BAT misura 2x quindi, essendo PT e PB tangenti alla circonferenza, l'angolo BAP misura x; si ha perci:

Essendo poi l'angolo DAT di misura

e QD e QT tangenti alla circonferenza, gli angoli DAQ e QAT sono uguali ed hanno misura

 

Pertanto:

La funzione richiesta allora:

b)

Studiamo la funzione di equazione

con la limitazione 0 x p / 4

che, nell'intervallo di studio, si annulla per x = p / 8

La derivata prima risulta positiva quando

ovvero per 0 < x < p / 8

Quindi la funzione crescente nell'intervallo 0 x p / 8 e decrescente nell'intervallo p / 8 x p / 4.

Si ha quindi un massimo per x = p / 8 che vale

.

Risulta poi:

Lo studio della derivata seconda, molto laborioso, non aggiunge particolari rilevanti al grafico:

 

c)


Ponendo  f(x) = k, consideriamo il grafico seguente:

 

da cui emerge facilmente che si hanno sempre due soluzioni per

 

d)

 La forma richiesta di f(x) si ottiene facilmente trasformando prima la tangente in seno e coseno e poi applicando le formule di duplicazione e bisezione del seno e del coseno.

e)

Stabiliamo che

Risulta:

 

 

ed essendo

si ha: