ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

a.s. 2002/2003

CORSO SPERIMENTALE

SESSIONE SUPPLETIVA

Autonomi gruppo 3

 

 

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

 

PROBLEMA 1.

In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le parabole di equazione:

y = (a – 1) x2 – 2 a x + a2 ,

dove a un parametro reale diverso da 1.

 a) Determinare quali tra esse hanno punti in comune con l’asse x e quali no.

 b) Trovare le due parabole che hanno il vertice in un punto di ascissa a.

 c) Stabilire se le due parabole trovate sono congruenti o no, fornendo un’esauriente spiegazione della risposta.

 d) Scrivere l’equazione del luogo geometrico L dei vertici delle parabole assegnate e disegnarne l’andamento dopo averne determinato in particolare asintoti, estremi e flessi.

 e) Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dalla curva L e dalla retta di equazione y=.

 

PROBLEMA 2.

In un trapezio rettangolo ABCD, circoscritto ad un cerchio, AB la base maggiore, CD la minore e BC il lato obliquo. Le misure, considerate rispetto alla stessa unit di misura, del raggio del cerchio e del perimetro del trapezio sono nell’ordine 2 e 18.

 a) Calcolare le misure dei lati del trapezio.

 b) Riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani (Oxy), scrivere le coordinate dei vertici del trapezio.

 c) Determinare l’equazione della circonferenza inscritta nel trapezio.

 d) Trovare le coordinate dei punti in cui questa circonferenza tocca i lati del trapezio.

 e) Calcolare le tangenti degli angoli interni del quadrilatero avente per vertici i suddetti punti di contatto.

 

 

QUESTIONARIO.

 1) Nota la lunghezza di una corda di un cerchio di dato raggio, calcolare quella della corda sottesa dall’angolo al centro uguale alla met di quello che sottende la corda data.

[Nota – La risoluzione del problema stata usata da Tolomeo, II sec. d.C., per la costruzione di una tavola trigonometrica in maniera equivalente alla nostra formula di bisezione del seno.]

 2) Nello spazio ordinario sono dati due piani a , b ed una retta r. Si sa che r parallela ad a e perpendicolare a b . Cosa si pu concludere circa la posizione reciproca di a e b ? Fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

 3) Il dominio della funzione f(x) = l’insieme degli x reali tali che:

A) x 0 e/o x>2;     B) x 0 e/o x 2;     C) x=0 e/o x>2;     D) x=0 e/o x 2.

Una sola risposta corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta operata.

 4) Si consideri un polinomio di grado n 2 nella variabile reale x con coefficienti reali. Dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinch esso ammetta due zeri uguali al numero reale a che il valore del polinomio e quello della sua derivata prima si annullino per x=a .

 5) Stabilire se esistono i limiti della funzione f(x) = per:

a) x + ;     b) x - ;     c) x 0 ,

e, in caso di risposta affermativa, determinarli.

6) Dimostrare che la derivata, rispetto ad x, della funzione:

f(x) = arcsen x

la funzione:

f ’(x) =.

 7) In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le rette a, b di equazioni rispettivamente: y = x +, y =x – 1 . Calcolare il coseno dell’angolo orientato (a, b).

 8) Servendosi della calcolatrice (o eventualmente di tavole logaritmiche) calcolare un valore approssimato della soluzione della seguente equazione in x:

,

dove e la base dei logaritmi naturali.

 9) La funzione reale di variabile reale f(x) derivabile in ogni x per cui risulti -1 x 0; inoltre f(0)=0 e -1 f ’(x) 0 in ogni x dell’intervallo –1<x<0. Stabilire in modo esauriente se vero o falso che risulta 0 f(-1) 1.

 10) Per x 0 la funzione f(x) = x sen:

 A) ha limite 0;
 B) ha limite
;
 C) una forma indeterminata del tipo 0
che non si pu eliminare;
 D) non ammette limite.

Una sola risposta corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta effettuata.

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Durata massima della prova: 6 ore.

consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.

Non ammesso lasciare l’aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla dettatura del tema.