LICEO SCIENTIFICO - SUPPLETIVA 2026 - PROBLEMA 2

Soluzione del punto a

Poiché \( \alpha \) e \( \beta \) sono gli zeri di \( f \), risulta \( f(\alpha)=f(\beta)=0 \).

Asintoti per \( g \):

Essendo \( g(x)=-\dfrac{1}{f(x)} \), si ha: \[ \lim_{x\to\alpha} g(x) = \lim_{x\to\alpha}\left(-\frac{1}{f(x)}\right) = -\frac{1}{0} = \infty \] dunque la retta \( x=\alpha \) è asintoto verticale per \( \gamma_2 \). In modo analogo si dimostra che anche \( x=\beta \) è asintoto verticale per \( \gamma_2 \).

Asintoti per \( h \):

Essendo \( h(x)=f(x)+g(x) \), si ha: \[ \lim_{x\to\alpha} h(x) = \lim_{x\to\alpha}\big[f(x)+g(x)\big] = 0 + \infty = \infty \] quindi anche \( x=\alpha \) è asintoto verticale per \( \gamma_3 \); analogamente si prova che \( x=\beta \) è asintoto verticale per \( \gamma_3 \).

\( \gamma_1 \) non ha punti in comune con \( \gamma_2 \):

Un'eventuale intersezione tra \( \gamma_1 \) e \( \gamma_2 \) richiederebbe \( f(x)=g(x) \), cioè: \[ f(x) = -\frac{1}{f(x)} \quad \Rightarrow \quad [f(x)]^2 = -1 \] equazione priva di soluzioni reali. Dunque \( \gamma_1 \cap \gamma_2 = \varnothing \).

\( \gamma_1 \) non ha punti in comune con \( \gamma_3 \):

Un'eventuale intersezione tra \( \gamma_1 \) e \( \gamma_3 \) richiederebbe \( f(x)=h(x) \), cioè: \[ f(x) = f(x)+g(x) \quad \Rightarrow \quad g(x)=0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{f(x)}=0 \] equazione impossibile, poiché una frazione con numeratore non nullo non può essere uguale a zero. Dunque \( \gamma_1 \cap \gamma_3 = \varnothing \).

Punti stazionari:

Sia \( x_s \) ascissa di un punto stazionario per \( f \), con \( f(x_s)\neq 0 \); risulta quindi \( f'(x_s)=0 \).

Calcoliamo la derivata di \( g \): \[ g'(x) = D\!\left(-\frac{1}{f(x)}\right) = D\!\left(-[f(x)]^{-1}\right) = \frac{f'(x)}{[f(x)]^2} \] Quindi: \[ g'(x_s) = \frac{f'(x_s)}{[f(x_s)]^2} = \frac{0}{[f(x_s)]^2} = 0 \] (il denominatore è ben definito e non nullo poiché \( f(x_s)\neq 0 \)). Dunque \( x_s \) è ascissa di un punto stazionario anche per \( g \).

Essendo \( h=f+g \), risulta \( h'=f'+g' \), quindi: \[ h'(x_s) = f'(x_s)+g'(x_s) = 0+0 = 0 \] Pertanto \( x_s \) è ascissa di un punto stazionario anche per \( h \).

Soluzione del punto b

Poiché \( f \) è polinomiale di 2° grado, poniamo: \[ f(x)=ax^2+bx+c \] Dalla condizione \( f(0)=-1 \) segue \( c=-1 \), quindi: \[ f(x)=ax^2+bx-1 \]

Condizione sull'asintoto di \( \gamma_2 \):

Essendo \( g(x)=-\dfrac{1}{f(x)} \), la retta \( x=-1 \) è asintoto per \( g \) se e solo se \( f(-1)=0 \): \[ a-b-1=0 \]

Condizione sul punto stazionario di \( h \):

Essendo \( h=f+g \), risulta \( h'=f'+g' \), con \( g'=\dfrac{f'}{[f(x)]^2} \). Poiché \( x=-\dfrac14 \) è punto stazionario per \( h \), e \( f'\left(-\dfrac14\right)=-\dfrac{a}{2}+b \), imponendo \( h'\left(-\dfrac14\right)=0 \): \[ f'\!\left(-\tfrac14\right)+g'\!\left(-\tfrac14\right) = \left(-\frac{a}{2}+b\right) + \frac{-\frac{a}{2}+b}{\left[f\left(-\frac14\right)\right]^2} = 0 \] Sviluppando i calcoli si ottiene: \[ \frac{(-a+2b)/2}{\left[f\left(-\frac14\right)\right]^2}=0 \quad \Rightarrow \quad -a+2b=0 \quad \Rightarrow \quad a=2b \]

Risoluzione del sistema:

Le tre funzioni risultano quindi: \[ f(x)=2x^2+x-1 \] \[ g(x)=-\frac{1}{2x^2+x-1} \] \[ h(x)=f(x)+g(x) = 2x^2+x-1-\frac{1}{2x^2+x-1} =\] \[=\frac{(2x^2+x-1)^2-1}{2x^2+x-1} \] Applicando la differenza di quadrati al numeratore: \[ (2x^2+x-1)^2-1 = (2x^2+x-2)(2x^2+x) =\] \[=x(2x+1)(2x^2+x-2) \] quindi: \[ h(x)=\frac{x(2x+1)(2x^2+x-2)}{2x^2+x-1} \]

Soluzione del punto c

Studio di \( \gamma_1 \) (grafico di \( f \)):

\( f(x)=2x^2+x-1 \) è una parabola con concavità verso l'alto (\( a=2>0 \)).

• Intersezioni con l'asse \( x \): \( 2x^2+x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{-1\pm3}{4} \Rightarrow x=-1,\ x=\dfrac12 \). Punti \( B(-1,0) \), \( C\!\left(\dfrac12,0\right) \).
• Intersezione con l'asse \( y \): \( f(0)=-1 \). Punto \( A(0,-1) \).
• Vertice (minimo assoluto): \( x_V=-\dfrac{1}{4} \), \( f\!\left(-\dfrac14\right)=-\dfrac{9}{8} \). Punto \( V\!\left(-\dfrac14,-\dfrac98\right) \).
• Nessun flesso: \( f''(x)=4 \) è costante e positiva, quindi la concavità non cambia mai.

Studio di \( \gamma_2 \) (grafico di \( g \)):

\( g(x)=-\dfrac{1}{2x^2+x-1}=-\dfrac{1}{(x+1)(2x-1)} \), con dominio \( x\neq-1,\ x\neq\dfrac12 \).

• Asintoti verticali: \( x=-1 \) e \( x=\dfrac12 \) (dimostrato al punto a).
• Asintoto orizzontale: per \( x\to\pm\infty \), \( f(x)\to+\infty \) quindi \( g(x)\to 0^- \); asintoto \( y=0 \).
• Intersezione con l'asse \( y \): \( g(0)=1 \). Punto \( (0,1) \).
• Nessuna intersezione con l'asse \( x \) (numeratore mai nullo).
• Segno: \( g(x)>0 \) per \( -1<x<\dfrac12 \) (dove \( f<0 \)); \( g(x)<0 \) per \( x<-1 \) o \( x>\dfrac12 \).
• Estremo: \( g'(x)=\dfrac{f'(x)}{[f(x)]^2}=0 \) solo per \( x=-\dfrac14 \) (unico punto stazionario di \( f \)), interno all'intervallo \( \left(-1,\dfrac12\right) \). Poiché \( g'(x) \) ha lo stesso segno di \( f'(x) \) (essendo \( [f(x)]^2>0 \)), \( g \) ha lo stesso andamento di monotonia di \( f \): decrescente per \( x<-1 \) e per \( -1<x<-\dfrac14 \), crescente per \( -\dfrac14<x<\dfrac12 \) e per \( x>\dfrac12 \); quindi un minimo in \( x=-\dfrac14 \): \( g\!\left(-\dfrac14\right)=-\dfrac{1}{-9/8}=\dfrac89 \). Punto di minimo \( \left(-\dfrac14,\dfrac89\right) \).
• Nessun flesso: \( g''(x)=-\dfrac{6(4x^2+2x+1)}{(2x^2+x-1)^3} \); ponendo \( g''(x)=0 \) si ottiene \( 4x^2+2x+1=0 \), con discriminante negativo ⟹ nessuna soluzione reale.

Grafico qualitativo di \( g(x) \) dedotto dal grafico di \( f(x) \):

Studio di \( \gamma_3 \) (grafico di \( h=f+g \)):

Dominio: \( x\neq-1,\ x\neq\dfrac12 \) (stesso di \( g \)).

• Intersezione con l'asse \( y \): \( h(0)=f(0)+g(0)=-1+1=0 \). \( \gamma_3 \) passa per l'origine \( O(0,0) \).
• Intersezioni con l'asse \( x \): \( h(x)=0 \Rightarrow f(x)=-g(x)=\dfrac{1}{f(x)} \Rightarrow [f(x)]^2=1 \Rightarrow f(x)=\pm1 \).
  Da \( f(x)=-1 \): \( 2x^2+x=0 \Rightarrow x(2x+1)=0 \Rightarrow x=0,\ x=-\dfrac12 \).
  Da \( f(x)=1 \): \( 2x^2+x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{4} \) (due soluzioni irrazionali, circa \( x\approx-1{,}28 \) e \( x\approx0{,}78 \)).
  In totale quattro zeri: \( x=-\dfrac12,\ x=0,\ x=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4},\ x=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4} \).
• Asintoti verticali: \( x=-1 \) e \( x=\dfrac12 \) (dimostrato al punto a).
• Asintoto obliquo (parabolico): per \( x\to\pm\infty \), \( g(x)\to0 \); poiché \( h(x)=f(x)+g(x) \), risulta che \( h(x) \) è asintotico a \( f(x) \). Quindi, per \( x\to\pm\infty \), il grafico di \( h \) si avvicina asintoticamente al grafico di \( f \): si può dire che \( \gamma_1 \) (il grafico di \( f \)) è asintoto parabolico per \( \gamma_3 \) (il grafico di \( h \)).
• Estremo: \( h'(x)=f'(x)+g'(x)=f'(x)\left(1+\dfrac{1}{[f(x)]^2}\right)=\dfrac{f'(x)\left([f(x)]^2+1\right)}{[f(x)]^2} \). Poiché \( [f(x)]^2+1>0 \) sempre, il segno di \( h' \) coincide con quello di \( f' \): unico punto stazionario in \( x=-\dfrac14 \), minimo. \[ h\!\left(-\frac14\right)=f\!\left(-\frac14\right)+g\!\left(-\frac14\right)=-\frac98+\frac89=-\frac{17}{72} \] Punto di minimo \( \left(-\dfrac14,-\dfrac{17}{72}\right) \).
• Flessi: il calcolo diretto di \( h''(x) \) risulta piuttosto laborioso; conviene ragionare per confronto. Poiché \( h(x) \) è asintotico a \( f(x) \) per \( x\to\pm\infty \), il grafico di \( h \) ha concavità verso l'alto (come \( f \)) sia per \( x\to-\infty \) sia per \( x\to+\infty \). D'altra parte, per \( x\to-1^- \) risulta \( h(x)\to-\infty \), e in prossimità dell'asintoto verticale la concavità è rivolta verso il basso; dunque, per \( x<-1 \), la concavità passa da verso il basso (vicino a \( x=-1 \)) a verso l'alto (per \( x\to-\infty \)): per il teorema dei valori intermedi applicato a \( h'' \), esiste quindi almeno un punto di flesso in tale intervallo (un numero dispari di cambi di concavità, non necessariamente uno solo). Analogamente, per \( x\to\left(\dfrac12\right)^+ \) risulta \( h(x)\to-\infty \) con concavità verso il basso, mentre per \( x\to+\infty \) la concavità torna verso l'alto: anche per \( x>\dfrac12 \) esiste quindi almeno un punto di flesso.

Calcolando \( h''(x) \) (calcolo laborioso, che omettiamo) e visualizzandone il grafico con una calcolatrice grafica, si scopre che \( h''(x) \) si annulla esattamente due volte, nei punti \( F_1\approx(-1{,}55,\,0) \) e \( F_2\approx(1{,}05,\,0) \), coerentemente con gli intervalli individuati sopra:

Quindi \( \gamma_3 \) presenta esattamente due punti di flesso, in corrispondenza di \( x_{F_1}\approx-1{,}55 \) e \( x_{F_2}\approx1{,}05 \), le cui ascisse esatte non sono esprimibili in forma elementare.

Grafico qualitativo di \( h(x) \) dedotto dal grafico di \( f(x) \):

Soluzione del punto d

Determinazione di \( A \) e \( B \):

Scomponiamo il denominatore: \( 2x^2+x-1=2\left(x+1\right)\left(x-\dfrac12\right)=(x+1)(2x-1) \), quindi: \[ g(x)=-\frac{1}{(x+1)(2x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}=\frac{A(2x-1)+B(x+1)}{(x+1)(2x-1)} \] Deve essere \( A(2x-1)+B(x+1)=-1 \), cioè \( (2A+B)x+(-A+B)=-1 \) per ogni \( x \), da cui il sistema: \[ \begin{cases} 2A+B=0 \\ -A+B=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} B=-2A \\ -3A=-1 \end{cases} \Rightarrow A=\frac13,\ B=-\frac23 \] Quindi: \[ g(x)=\frac{1/3}{x+1}+\frac{-2/3}{2x-1} \]

Intersezioni tra \( \gamma_2 \) e la retta \( y=\dfrac85 \):

Imponiamo \( g(x)=\dfrac85 \), cioè \( -\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac85 \Rightarrow f(x)=-\dfrac58 \): \[ 2x^2+x-1=-\frac58 \ \Rightarrow\ 2x^2+x-\frac38=0 \ \Rightarrow\ 16x^2+8x-3=0 \] \[ \Delta=64+192=256 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{-8\pm16}{32} \quad\Rightarrow\quad x=\frac14,\ x=-\frac34 \] Punti di intersezione: \( E\!\left(-\dfrac34,\dfrac85\right) \), \( F\!\left(\dfrac14,\dfrac85\right) \).

Calcolo dell'area:

Nell'intervallo \( \left[-\dfrac34,\dfrac14\right] \) la retta \( y=\dfrac85 \) sta al di sopra di \( \gamma_2 \) (ad esempio in \( x=0 \): \( g(0)=1<\dfrac85 \)), quindi: \[ \text{Area}=\int_{-3/4}^{1/4}\left[\frac85-g(x)\right]dx = \int_{-3/4}^{1/4}\frac85\,dx \;-\; \int_{-3/4}^{1/4} g(x)\,dx \]

Il primo integrale vale: \[ \int_{-3/4}^{1/4}\frac85\,dx = \frac85\left[\frac14-\left(-\frac34\right)\right] = \frac85\cdot1 = \frac85 \]

Per il secondo integrale, usando la scomposizione trovata: \[ \int g(x)\,dx = \int\left(\frac{1/3}{x+1}-\frac{2/3}{2x-1}\right)dx =\] \[=\frac13\ln|x+1|-\frac13\ln|2x-1| = \frac13\ln\left|\frac{x+1}{2x-1}\right| \] Calcolando tra gli estremi: \[ \left[\frac13\ln\left|\frac{x+1}{2x-1}\right|\right]_{-3/4}^{1/4} = \frac13\ln\frac{5/4}{1/2} - \frac13\ln\frac{1/4}{5/2} =\] \[=\frac13\ln\frac52 - \frac13\ln\frac{1}{10} = \frac13\ln\left(\frac{5/2}{1/10}\right) = \frac13\ln(25) = \frac23\ln5 \]

Quindi: \[ \text{Area} = \frac85 - \frac23\ln5 \approx 1{,}6-1{,}073 \approx 0{,}527 \]