Maturit sperimentale 1997- Soluzione quesito 1

Il fuoco della parabola data, di equazione y=x2, ha coordinate F=(0;1/4); la distanza focale quindi .

a) Cerchiamo le equazioni delle parabole con equazioni del tipo y=ax2+bx+c. Risulta:

Essendo l'ascissa del vertice risulta:


Imponendo il passaggio per il punto P si ha:


Le equazioni delle due parabole richieste sono pertanto:


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b) La trasformazione che muta la traslazione di equazioni:

La trasformazione che muta la glissosimmetria ottenuta dalla composizione della traslazione precedente con la simmetria di asse la retta di equazione . Si ha:


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c) La prima trasformazione una traslazione, che un'isometria diretta; la seconda una glissosimmetria, che un'sometria inversa; in nessuno dei due casi si hanno elementi uniti.

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d) Le coordinate dei tre punti si ottengono mettendo a sistema la retta di euazione x=h con le tre parabole in questione; si ha:

T=(h;h2), T1=(h;h2-2h+2), T2=(h;-h2+2h).

Le distanze richieste sono:

TT1=|2h-2|, TT2=|2h-2h2|, T1T2=2h2-4h+2 ; con h diverso da 0 e da 1 affinch non si annulli TT2.

La funzione z=f(h) ha quindi equazione:


che come dire


Il grafico di questa funzione costituito da due parti di funzioni omografiche e da una semiretta;

per h<0 il centro della funzione omografica ha coordinate (0;1), gli asintoti hanno equazioni h=0 e z=1;

per 0<h<1 il centro ha coordinate (0;-1), gli asintoti equazioni h=0 e z=-1.

Il grafico della funzione quindi: