r) x = 1; P = (1;t); retta OP: y = tx ; equazione
della circonferenza :
Il luogo richiesto si ottiene eliminando il
parametro t nel seguente sistema:
Ovvero: x2
(x-1)2 + y2 (x-1)2 = 8
x2 da cui , con
x diverso da 1 (verificato), si ottiene:
con la condizione che si abbia
(*)
a) Il luogo richiesto si spezza quindi nelle
due funzioni di equazioni:
i cui grafici, GLOBALMENTE MA NON SINGOLARMENTE,
coincidono con i grafici delle due funzioni indicate nel testo,
y=f1(x) e y=f2(x).
b) L'insieme E di esistenza della funzione
f1(x) è dato da (*) con x diverso da 1;
0<x<1
che non esiste negli estremi dell'insieme
di definizione della funzione, ed ha limite infinito negli estremi
di E nei quali la funzione f1(x) è definita:
ciò dimostra che le tangenti al suo grafico nei punti con
tali ascisse sono parallele all'asse y.
(la disequazione di terzo si abbassa di grado
con x=-1 mediante la regola di Ruffini)
Ed essendo x2-4x+7>0 per ogni x (discriminante negativo), si ha che la deivata prima è positiva per
x<-1 , si annulla per x=-1 ed è
negativa per x>-1. In x=-1 si ha pertanto un massimo relativo
M le cui coordinate sono M=(-1;1)
c) I grafici delle due funzioni (quello dell
seconda si ottiene da quello della prima con una simmetria rispetto
all'assex), sono rappresentati nella figura seguente:
d) L'ulteriore intersezione N della tangente
in M con il grafico di y=f1(x) si ottiene mettendo
a sistema l'equazione della funzione con la retta di equazione
y=1; si perviene all'equazione:
che si abbassa di grado due volte con x=-1
e conduce all'equazione x2-4x+1=0, con soluzioni
di cui la seconda è quella richiesta.
e) Si fornisce il programma in Pascal che
permette di calcolare l'area S richiesta; si utilizzano due metodi
di integrazione numerica: quello dei rettangoli e quello dei trapezi
(BEZOUT).
Program PNI97;
Uses Crt;
VAR
n,i:integer;
T,R,a,b,dx,x1,x2:real;
risposta:char;
(*------------------------------------------------------------------------*)
Procedure Presentazione;
Begin
ClrScr;
Writeln('Questo programma permette di calcolare l''area S richiesta nel');
Writeln('primo quesito;sono usati il metodo dei rettangoli e quello dei');
Writeln('trapezi (BEZOUT).');
Writeln;
Writeln('_______________________________________________________________');
Writeln;writeln;
End;
(*------------------------------------------------------------------------*)
Procedure dati;
Begin
write('In quante parti vuoi dividere l''intervallo? (massimo 10 000) n= ');
readln(n)
end;
(*------------------------------------------------------------------------*)
Function f(x:real):real;
Begin
f:=(x/(x-1))*sqrt(7+2*x-x*x);
end;
(*------------------------------------------------------------------------*)
Procedure Puntidivisione;
Begin
a:= -1.828427; (*1-2*sqrt(2)*)
b:=-1;
dx:=(b-a)/n
end;
(*------------------------------------------------------------------------*)
Procedure CalcolaR;(*rettangoli*)
Begin
i:=0;
R:=0;
Repeat
x1:=a+i*dx;
x2:=a+(i+1)*dx;
R:=R+ f(x1)*dx;(*plurirettangolo*)
i:=i+1;
Until i=n
end;
(*------------------------------------------------------------------------*)
Procedure CalcolaT;(*trapezi, BEZOUT*)
Begin
i:=0;
T:=0;
Repeat
x1:=a+i*dx;
x2:=a+(i+1)*dx;
T:= T + (f(x1)+f(x2))*dx/2 ;(*pluritrapezio*)
i:=i+1;
Until i=n
end;
(*------------------------------------------------------------------------*)
Procedure Elabora;
Begin
Puntidivisione;
CalcolaT;
CalcolaR
end;
(*------------------------------------------------------------------------*)
Procedure Comunica;
Begin
Writeln('--------------------------------------------------');
Writeln;
Writeln(' S (trapezi) = ',T:10:10);Writeln;
Writeln(' S (rettangoli) = ',R:10:10);Writeln;
Writeln;
Writeln('--------------------------------------------------');
Writeln
end;
(*------------------------------------------------------------------------*)
BEGIN
Repeat
Presentazione;
Dati;
Elabora;
Comunica;
Write('Ancora? (s/n) ');
Readln(risposta);
Until risposta in ['n','N']
END.