Maturità sperimentale
1997- Soluzione quesito 3
a) Dobbiamo dimostrare che i due segmenti GH e IL sono uguali.
I due triangoli AEF e GHF si corrispondono
nell'omotetia di centro F e quindi il rapporto tra i lati GH ed
AE è uguale al rapporto tra le relative altezze, che misurano
rispettivamente (a-x) e a:
GH:AE=(a-x):a => GH=(a-x)2r/a
;
analogamente si corrispondono i triangoli
ABC e IMC nell'omotetia di centro C, pertanto si ha:
IM:AB=CM:CB => IM=CM*AB/CB
=> IM=2(a-x).
Ma nella stessa omotetia si corrispondono
anche i triangoli EBC ed LMC, pertanto:
LM:EB=CM:CB => LM=EB*CM/CB
=> LM=(2a-2r)(a-x)/a
Ma risulta:
IL=IM-LM=.........=(a-x)2r/a
come volevasi dimostrare.
b) C'1
è una circonferenza perché corrispondente della
circonferenza C1 nell'omotetia solida di centro F;
analogamente risulta C'2 una circonferenza perchè
corrispondente della circonferenza C1 nell'omotetia
solida di centro C. Da notare che le due omotetie hanno rapporto
uno inverso dell'altro, pertanto la loro composizione
è una traslazione: ciò conferma che le due sezioni
sono isometriche.
c) I due
coni hanno la stessa base e la stessa altezza quindi sono equivalenti;
il loro volume è:
d)
Soluzione sintetica.
Osservando le due figure si nota che le
due circonferenze sono tangenti esternamente quando I coincide
con H, ovvero quando la misura del segmento IH è nulla.
Pertanto:
HI=AB-r-GH/2-IM=2a-2(a-x)-r-r(a-x)/a=0;
da cui, con semplici calcoli:
Soluzione analitica.
Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico col centro in A, asse x coincidente con la retta AB (orientato da A verso B) e asse y coincidente con la retta AD (orientato da A verso D).
In tale riferimento risulta A=(0;0), F=(r;a),
E=(2r;0), C=(2a;a);
equazione retta EF: (y-a)/a=(x-r)/(-r) =>
y=(-a/r)x+2a
equazione della retta AC: y=(1/2)x
Intersecando le due rette si trova il punto H, che risulta di coordinate
x=(4ar)/(r+2a)
y=(2ar)/r+2a)
L'ordinata di H fornisce il valore della distanza
richiesta.