Maturit sperimentale 1998- Soluzione quesito 1

a)

A(-1;0)

B(1;0)

G1 l'ellisse di fuochi A e B semiasse maggiore a= ; inoltre la semidistanza focale c=1; risulta quindi:

b2=a2-c2=1; pertanto l'ellisse ha equazione

x2/2+y2=1.

G2 evidentemente la circonferenza di equazione

(x-1)2+y2=2.

 

 

 b)

C(0;1) e D(0;-1), vertici dell'ellisse, appartengono alla circonferenza poich

quindi il triangolo CBD retto in B.

(alla stessa conclusione si pu giungere notando che gli angoli CBO e DBO misurano 45).

 

c)

S=area semiellisse+area semicerchio-2Area(W'CV)= area semiellisse +area semicerchio-(area semiellisse+Area segmento circolare CW'D)= area semicerchio-area segm. circ.= area semicerchio - (1/4 area cerchio- area triangolo CBD)= 1/4 area cerchio + Area tr. CBD=

= (p /2 +1) u2

d)

Notiamo che il punto P deve appartenere al segmento V'W, quindi

 

la sezione un cerchio con R2=y2, essendo y l'ordinata di un punto dell'ellisse di ascissa x:

y2=1-x2/2

in tal caso risulta

f(x)=p (1-x2/2)

 

in tal caso la sezione una corona circolare; risulta:

f(x)=p |R2-r2|=p |1-x2/2-(2-(x-1)2|=p |x2/2-2x|

 

in tal caso la sezione un cerchio; risulta:

f(x)=p (2-(x-1)2=p (-x2+2x+1)

Il grafico di y=f(x) quindi costituito da quattro archi di parabola:

 

 

e)

Tenendo presente che f(x)dx=dV, essendo V il volume di T, evidentemente l'area in questione rappresenta il volume del solido T.