Sessione ordinaria - Indirizzo P.N.I. 1999
Soluzione quesito 3

  a)

T1 rappresenta un'omotetia di centro O e rapporto 2

T2 rappresenta una rotazione di 90° in senso antiorario intorno all'origine O

T3 rappresenta una traslazione di vettore (2;-1)

 

b)

La trasformazione T è la composizione delle tre trasformazioni date, ovvero

 le cui equazioni si ottengono come segue:

La T ha quindi equazioni

 

 

 

c)

 T rappresenta una similitudine diretta di rapporto k=2; il rapporto tra le aree delle figure corrispondenti è k2 = 4. Tale trasformazione è una particolare affinità che muta circonferenze in circonferenze; come tutte le affinità mantiene il parallelismo tra le rette; k rappresenta il rapporto tra i segmenti corrispondenti, che è, appunto, costante.

ponendo X=x e Y=y nelle equazioni della trasformazione si scopre, con semplici calcoli, il punto unito (4/5;3/5)

Data la retta generica di equazione

aX + bY + c = 0 (a e b non contemporaneamente nulli)

La sua corrispondente in T ha equazione

2b x -2a y +2a - b + c = 0

Le due rette coincidono se

a/2b = b/(-2a) = c/(2a - b +c)

La prima uguaglianza diventa

-2 a2 = 2 b2

che è verificata solo per a e b contemporaneamente nulli, situazione mai verificata.

Non ci sono quindi rette unite.

 

d)

     

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Risulta

pertanto l'angolo DCO misura 30°.

Il triangolo CDE è pertanto equilatero. Essendo

risulta R=2.

N.B. Il centro della circonferenza circoscritta ad un triangolo equilatero coincide con il baricentro, che nel nostro caso è il punto di coordinate (1;0); ma, per rispondere al quesito, non serve l'equazione della circonferenza.

 

Per determinare le aree ed i perimetri richiesti è sufficiente trovarli nella figura di partenza e poi applicare le proprietà della similitudine (l'area si moltiplica per 4 ed il perimetro per 2).

Detta A1 l'area del segmento circolare più piccolo risulta:

3 A1 = area cerchio - area triangolo CDE =

quindi, indicata con A'1 la prima delle due aree richieste, si ha:

L'area del secondo segmento circolare si ottiene sottraendo all'area del cerchio l'area del primo segmento circolare:


e)

Il perimetro della prima regione è uguale ad un terzo della circonferenza più il lato del triangolo.

Con notazioni analoghe a quelle del punto precedente si ha:

Il perimetro della seconda regione è uguale a due terzi di circonferenza più il lato del triangolo:


N.B.

La circonferenza g ha centro (1;0) e raggio 2; la sua equazione è:

x2 + y2 - 2x -3 = 0

La circonferenza trasformata si ottiene applicando alla precedente la trasformazione T-1 le cui equazioni sono:

Si ottiene:

X2 + Y2 - 4X - 2Y -11 = 0

La retta a ha equazione

e la sua trasformata a'