Problema : dimostrare che, presi tre numeri {a,b,c} in R+,
allora vale la seguente disuguaglianza :

     a              b              c
------------ + ------------ + ------------ >= 1
rad(a^2+8bc)   rad(b^2+8ac)   rad(c^2+8ab)

Se poniamo
                a
f(a,b,c) = ------------
           rad(a^2+8bc)


notiamo che l'intera disuguaglianza può essere
riscritta come SOMMATORIA CICLICA 


cyclosum{a,b,c} f(a,b,c) >= 1

questa particolarità notevole indica sicuramente
che uguagliare i tre termini del membro sinistro
della disuguaglianza iniziale ci permette di trovare
un punto di minimo o di massimo della sommatoria
ciclica. Ponendo a=b=c si ottiene infatti l'identità,
mentre altre combinazioni arbitrarie conducono sempre
alla disuguaglianza cyclosum > 1. Un discorso del genere
è indubbiamente efficace ma privo di rigore, per
ovviare a questa pecca vi è necessità di ricorrere
ad alcune disuguaglianze notevoli nel campo delle MEDIE,
e di modificare opportunamente la "forma" della
nostra disuguaglianza tramite sostituzioni.

Se g è nel campo dei numeri relativi, e [x[1],x[2],...,x[n]]
è un set di numeri reali, definiamo la MEDIA di GRADO g del
set di numeri X come

M[g] {x[1];x[2];...;x[n]} =  [(sum[j=1..n] x[j]^g)/n] ^ (1/g)

per M[0] assumiamo convenzionalmente

M[0] {x[1];x[2];...;x[n]} =   (prod[j=1..n] x[j]) ^ (1/n)

il teorema fondamentale riguardante le medie dice che :


--- [A] Se a e b sono due numeri relativi tali che a>b,
---     e [x[1],x[2],...,x[n]] è un set di numeri reali,
---     allora
--- 
---     M[a] {x[1],..,x[n]} >= M[b] {x[1],..,x[n]}
---
---     e l'uguaglianza vale solo nel caso che
---
---     x[1] = x[2] = ... = x[n]


riguardo M[0] è facile constatare che 

---
--- [B] M[0] {x[1]^k,x[2]^k,..,x[n]^k} = ( M[0] {x[1];..;x[n]} )^k
---


altre constatazioni importanti derivano dalla
convessità della funzione M[0] : procediamo con ordine.

M[0]{x-1;y-1} <= M[0]{x,y} 1 infatti elevando al quadrato e semplificando si ha x + y>= 2 rad(xy)

elevando nuovamente alla seconda si ottiene

 (x-y)^2 >= 0

analoga la generalizzazione ai tre termini,
che ci porta a concludere che

---
--- [C]  M[0]{x-1;y-1;z-1} <= M[0]{x;y;z} 1 [C] M[0]{x+1;y+1;z+1}>= M[0]{x;y;z} + 1
---

Riprendiamo ora la disuguaglianza iniziale


     a              b              c
------------ + ------------ + ------------ >= 1
rad(a^2+8bc)   rad(b^2+8ac)   rad(c^2+8ab)


e permutiamo le variabili, ponendo
  bc/a^2 = x
  ac/b^2 = y
  ab/c^2 = 1/xy

    1           1            1
--------- + --------- + ----------- >= 1
rad(1+8x)   rad(1+8y)   rad(1+8/xy)


operando le trasformazioni

rad(1+8x)   = u
rad(1+8y)   = v
rad(1+8/xy) = z

il problema può essere riformulato come segue :

Dati tre numeri reali positivi u,v,z ,
ognuno di essi maggiore o uguale a 1, e tali che

(u^2 - 1)(v^2 - 1)(z^2 - 1) = 512

dimostrare che è necessariamente

 1   1   1
 - + - + - >= 1
 u   v   z