Prima della prova vera e propria, presento un risultato elementare abbastanza noto.


Sia f(x)=ax^2+bx+c un polinomio di secondo grado a coefficienti reali. Come si puo' verificare, si ha che 4a f(x)=(2ax-b)^2-(b^2-4ac). Pertanto, se b^2-4ac=<0, si che 4af(x)>=0 per ogni x reale e, in particolare, se a>0 risulta che f(x)>=0 per ogni x.
Viceversa se a>0 e f(x)>=0 per ogni x, si ha che (2ax-b)^2-(b^2-4ac)>=0 per ogni x. Da cui, per x=b/(2a), segue che b^2-4ac=<0.
Siano date le n-uple {a1, a2, ..., an}, {b1, b2, ..., bn} di numeri reali positivi. Consideriamo il polinomio g(x)=(a1x-b1)^2+(a2x-b2)^2+...+(anx-bn)^2 che possiamo riscrivere come g(x)=(a1^2+a2^2+...+an^2)x^2-2(a1b1+a2b2+...+anbn)x+(b1^2+b2^2+...+bn^2). Essendo g(x) una somma di numeri non negativi, si ha che g(x)>=0 per ogni x. Pertanto, per quanto visto prima, risulta che 4(a1b1+a2b2+...+anbn)^2-4(a1^2+a2^2+...+an^2) (b1^2+b2^2+...+bn^2)=<0 cioe' (a1b1+a2b2+...+anbn)^2=<(a1^2+a2^2+...+an^2) (b1^2+b2^2+...+bn^2) (*).
Quest'ultimo risultato e' conosciuto come disuguaglianza di Cauchy.


Applichiamo ora questo al nostro problema.

Con a,b,c reali positivi, per la (*) si ha che:

(1)    (a(a^2+8bc)^(1/2)+b(b^2+8ac)^(1/2)+c(c^2+8ab)^(1/2)) * (a/(a^2+8bc)^(1/2)+b/(b^2+8ac)^(1/2)+c/(c^2+8ab)^(1/2))>=(a+b+c)^2
	
sempre per la (*) si ha che:

(2)    (a+b+c) * (a(a^2+8bc)+b(b^2+8ac)+c(c^2+8ab)) >= (a(a^2+8bc)^(1/2)+b(b^2+8ac)^(1/2)+c(c^2+8ab)^(1/2))^2.


Combinando la (1) e la (2) si ha che:

(3)  a/(a^2+8bc)^(1/2)+b/(b^2+8ac)^(1/2)+c/(c^2+8ab)^(1/2) >= (a+b+c)^(3/2) /(a(a^2+8bc)+b(b^2+8ac)+c(c^2+8ab))^(1/2).


Proviamo ora che (a+b+c)^(3/2) /(a(a^2+8bc)+b(b^2+8ac)+c(c^2+8ab))^(1/2) >=1,  cioe' che:


(a+b+c)^3 >= a(a^2+8bc)+b(b^2+8ac)+c(c^2+8ab).

Sviluppando i conti e facendo le opportune semplificazioni si arriva alla disuguaglianza equivalente:

(4)  a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b>=6abc.

Che quest'ultima sia vera deriva dal fatto che, per la nota relazione tra media aritmetica e media geometrica: MA>=MG,

(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)/6>= (a^2b*a^2c*b^2a*b^2c*c^2a*c^2b)^(1/6)=abc.

Un altro modo per provare la (4) e' il seguente:

portando tutto al primo membro e raggruppando opportunamente si ha:

ab(a-c)+ac(a-b)+ba(b-c)+bc(b-a)+ca(c-b)+cb(c-a)=(a-c)(ab-cb)+(a-b)(ac-bc)+(b-c)(ba-ca)=b(a-c)^2+c(a-b)^2+a(b-c)^2>=0.


In definitiva dalla (3) abbiamo che:


a/(a^2+8bc)^(1/2)+b/(b^2+8ac)^(1/2)+c/(c^2+8ab)^(1/2) >= 1.