Test sulle Aree con gli Integrali

Passaggio 1: Studio del segno. In [0,1], l'esponente \(2x-3\) è negativo, quindi la funzione \(f(x)\) è sempre sotto l'asse x.

Passaggio 2: L'area è l'integrale cambiato di segno: \( \int_0^1 (1 - e^{2x-3}) dx \).

Passaggio 3: Calcolo la primitiva: \( [x - \frac{1}{2}e^{2x-3}]_0^1 \).

Passaggio 4: Sostituisco i valori: \( (1 - \frac{1}{2}e^{-1}) - (0 - \frac{1}{2}e^{-3}) \approx 0.84 \).

Passaggio 1: La funzione è sempre positiva (parabola con vertice in (1,1)).

Passaggio 2: Calcolo l'integrale: \( \int_1^2 (x^2 - 2x + 2) dx \).

Passaggio 3: Primitiva: \( [\frac{x^3}{3} - x^2 + 2x]_1^2 \).

Passaggio 4: Risultato: \( (\frac{8}{3} - 4 + 4) - (\frac{1}{3} - 1 + 2) = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = 4/3 \).

Soluzione dettagliata Domanda 3:

1. Analisi dell'intervallo:
La funzione \( f(x) = \sin(x) \) nell'intervallo richiesto \( [0, \frac{3}{2}\pi] \) non è sempre sopra l'asse delle ascisse. Dobbiamo dividerla dove cambia segno, cioè in \( \pi \):

• Tra \( 0 \) e \( \pi \): la funzione è positiva (sopra l'asse).
• Tra \( \pi \) e \( \frac{3}{2}\pi \): la funzione è negativa (sotto l'asse).

2. Impostazione dell'Area:
Per calcolare l'area totale, sommiamo l'integrale della parte positiva e il valore assoluto dell'integrale della parte negativa: \[ \text{Area} = \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx + \left| \int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} \sin(x) \, dx \right| \]

3. Calcolo dei singoli passaggi:
Sapendo che l'integrale di \( \sin(x) \) è \( -\cos(x) \):

• Prima parte: \( [-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = \mathbf{2} \)
• Seconda parte: \( [-\cos(x)]_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} = -\cos(\frac{3}{2}\pi) - (-\cos(\pi)) = 0 - (-(-1)) = 0 - 1 = \mathbf{-1} \)

4. Risultato finale:
Prendiamo i valori assoluti e sommiamo: \[ \text{Area Totale} = 2 + |-1| = 2 + 1 = \mathbf{3} \]

Passaggio 1: Intersezioni: \( x^2 - x = x \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \). Punti 0 e 2.

Passaggio 2: In [0,2] la retta sta sopra la parabola.

Passaggio 3: Area = \( \int_0^2 (x - (x^2-x)) dx = \int_0^2 (2x - x^2) dx \).

Passaggio 4: Risultato: \( [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 4 - 8/3 = 4/3 \).

Passaggio 1: È più semplice integrare rispetto all'asse y.

Passaggio 2: La funzione inversa di \( y = \ln x \) è \( x = e^y \).

Passaggio 3: Area = \( \int_0^1 e^y dy = [e^y]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \).

Passaggio 1: Intersezioni: \( x-1 = x^3-1 \Rightarrow x^3-x=0 \). Punti: -1, 0, 1.

Passaggio 2: L'area è formata da due lobi simmetrici.

Passaggio 3: Area totale = \( 2 \cdot \int_0^1 (x - x^3) dx = 2 \cdot [\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}]_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{4} = 1/2 \).

Passaggio 1: Trattandosi di una regione illimitata, impostiamo l'integrale improprio: \( \int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx \).

Passaggio 2: Troviamo la primitiva: la primitiva di \( 1/x \) è il logaritmo naturale \( \ln|x| \).

Passaggio 3: Calcoliamo il limite per l'estremo superiore che tende a infinito: \( \lim_{k \to +\infty} [\ln x]_1^k \).

Passaggio 4: Poiché il logaritmo di +infinito è +infinito, l'area non è un numero finito ma diverge.

Soluzione dettagliata Domanda 8: la risposta corretta è la a) (Nota: nel tuo testo avevi scritto 'c' per errore, ma il calcolo porta alla 'a').

1. Trovare la retta tangente:
La retta che tocca la funzione \( f(x) = x\sqrt{4-x^2} \) nell'origine \( (x=0) \) ha pendenza data dalla derivata:

• Calcoliamo la derivata: \( f'(x) = \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} \).
• In \( x=0 \): \( f'(0) = \sqrt{4} = 2 \).
• La retta tangente è: \( y = 2x \).

2. Chi sta sopra?
Nell'intervallo \( [0, 1] \):

• La retta vale: \( y(1) = 2 \).
• La curva vale: \( f(1) = \sqrt{3} \approx 1.73 \).

La retta sta sopra, quindi l'area è \( \text{Retta} - \text{Curva} \).

3. Calcolo:
\[ \text{Area} = \int_{0}^{1} (2x - x\sqrt{4-x^2}) \, dx \] Separando gli integrali otteniamo: \[ 1 - \left( \frac{8}{3} - \sqrt{3} \right) = \mathbf{\sqrt{3} - \frac{5}{3}} \]

Passaggio 1: Trovare la tangente comune \( y = mx + q \)

Per trovare la retta, dobbiamo imporre che il sistema tra retta e parabola abbia una sola soluzione (Delta uguale a zero).

• Condizione per la prima parabola: \( x^2 + 1 = mx + q \rightarrow x^2 - mx + (1 - q) = 0 \).
  Imponiamo \( \Delta = 0 \): \( m^2 - 4(1 - q) = 0 \).
• Condizione per la seconda parabola: \( x^2 - 8x + 9 = mx + q \rightarrow x^2 - (8 + m)x + (9 - q) = 0 \).
  Imponiamo \( \Delta = 0 \): \( (8 + m)^2 - 4(9 - q) = 0 \).

Risolvendo il sistema tra le due condizioni del Delta, otteniamo:
\( m = -2 \) e \( q = 0 \). La retta è \( y = -2x \).

Passaggio 2: Punti di contatto e intersezione

• Contatto con f(x): Risolvendo \( (x+1)^2 = 0 \), troviamo \( x = -1 \).
• Contatto con g(x): Risolvendo \( (x-3)^2 = 0 \), troviamo \( x = 3 \).
• Intersezione tra le parabole: Uguagliando \( x^2+1 = x^2-8x+9 \), troviamo \( x = 1 \).

Passaggio 3: Calcolo dell'Area (divisa in due parti)

Dobbiamo calcolare due aree separate perché nel punto \( x = 1 \) cambiano le funzioni "sopra".

Parte A (da -1 a 1):
\[ \int_{-1}^{1} [ (x^2 + 1) - (-2x) ] dx = \int_{-1}^{1} (x+1)^2 dx = \left[ \frac{(x+1)^3}{3} \right]_{-1}^1 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \]

Parte B (da 1 a 3):
\[ \int_{1}^{3} [ (x^2 - 8x + 9) - (-2x) ] dx = \int_{1}^{3} (x-3)^2 dx = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_1^3 = 0 - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3} \]

Area Totale:
\[ \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \]

Passaggio 1: Calcoliamo \( \int_0^k e^{-x} dx \).

Passaggio 2: Primitiva: \( [-e^{-x}]_0^k = -e^{-k} - (-e^0) = 1 - e^{-k} \).

Passaggio 3: Per \( k \to +\infty \), \( e^{-k} \) va a 0. L'area vale 1.