Test sul calcolo di aree con gli integrali

Soluzione dettagliata per la domanda 1. La risposta corretta è b).

\[ \text{Area} = -\int_{0}^{1} (e^{(2x-3)} - 1) \, dx \] Calcoliamo l'integrale: \[ = -\left[ \frac{1}{2}e^{(2x-3)} - x \right]_{0}^{1} \] Valutiamo agli estremi dell'intervallo: \[ = -\left( \left( \frac{1}{2}e^{(2\cdot1-3)} - 1 \right) - \left( \frac{1}{2}e^{(2\cdot0-3)} - 0 \right) \right) \] \[ = -\left( \left( \frac{1}{2}e^{-1} - 1 \right) - \left( \frac{1}{2}e^{-3} \right) \right) \] \[ = -\left( \frac{1}{2}(e^{-1} - e^{-3}) - 1 \right) \] \[ = -\frac{1}{2}(e^{-1} - e^{-3}) + 1 \approx 0.84 \]

Soluzione dettagliata per la domanda 2. La risposta corretta è b).

\[ \text{Area} = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_{1}^{2} \] Calcoliamo i valori agli estremi dell'intervallo: \[ \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 2 \cdot 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 2 \cdot 1 \right) = \left( \frac{8}{3} - 4 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 + 2 \right) \] \[ = \left( \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} \]

Soluzione dettagliata Domanda 3: la risposta corretta è c).

Per calcolare l'area racchiusa tra la funzione \( f(x) = \sin(x) \) e l'asse \( x \) nell'intervallo \( [0, \frac{3}{2}\pi] \), dobbiamo osservare che la funzione cambia segno in \( x = \pi \).

1. Impostazione del calcolo:
L'area totale è la somma dell'area sopra l'asse (positiva) e del valore assoluto dell'area sotto l'asse (negativa): \[ \text{Area} = \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx + \left| \int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} \sin(x) \, dx \right| \]

2. Calcolo della prima parte (da \( 0 \) a \( \pi \)):
Ricordiamo che l'integrale di \( \sin(x) \) è \( -\cos(x) \). \[ \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = \left[ -\cos(x) \right]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) \] Poiché \( \cos(\pi) = -1 \) e \( \cos(0) = 1 \), abbiamo: \[ -(-1) - (-1) = 1 + 1 = \mathbf{2} \]

3. Calcolo della seconda parte (da \( \pi \) a \( \frac{3}{2}\pi \)):
In questo intervallo il seno è negativo, quindi usiamo il valore assoluto: \[ \left| \int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} \sin(x) \, dx \right| = \left| \left[ -\cos(x) \right]_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} \right| = \left| -\cos\left(\frac{3}{2}\pi\right) - (-\cos(\pi)) \right| \] Poiché \( \cos(\frac{3}{2}\pi) = 0 \) e \( \cos(\pi) = -1 \): \[ | 0 - (-(-1)) | = | 0 - 1 | = |-1| = \mathbf{1} \]

4. Risultato Finale:
Sommando i due contributi otteniamo: \[ \text{Area totale} = 2 + 1 = 3 \]

Soluzione dettagliata per la domanda 4. La risposta corretta è b).

Cerchiamo le intersezioni fra le due curve \( f(x) = x^2 - x \) e \( g(x) = x \):

\[ x^2 - x = x \] \[ x^2 - 2x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] Quindi, le intersezioni sono a \( x = 0 \) e \( x = 2 \).

Ora calcoliamo l'area tra le due curve nell'intervallo [0, 2]:

\[ \text{Area} = \int_{0}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{2} (x - (x^2 - x)) \, dx \] Simplifichiamo l'integrale: \[ = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx \] Calcoliamo l'integrale: \[ = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \] Valutiamo agli estremi dell'intervallo: \[ = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - (0 - 0) = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \]

Soluzione dettagliata per la domanda 5. La risposta corretta è c).

Per risolvere il problema, troviamo la funzione inversa di \( y = \ln(x) \), che è \( x = e^y \).

L'area richiesta è data da:

\[ \text{Area} = \int_{0}^{1} e^y \, dy \]

Calcoliamo l'integrale:

\[ = \left[ e^y \right]_{0}^{1} \]

Valutiamo agli estremi dell'intervallo:

\[ = e^1 - e^0 = e - 1 \]

Soluzione dettagliata per la domanda 6. La risposta corretta è b).

Cerchiamo le intersezioni fra le due curve \( f(x) = x - 1 \) e \( g(x) = x^3 - 1 \):

\[ x - 1 = x^3 - 1 \implies x - x^3 = 0 \implies x(1 - x^2) = 0 \] Quindi, le intersezioni sono a \( x = -1 \), \( x = 0 \), e \( x = 1 \).

L'area totale è data dalla somma di due regioni:

1. Da \( x = -1 \) a \( x = 0 \), dove \( g(x) \geq f(x) \):

\[ \text{Area}_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{4} \]

2. Da \( x = 0 \) a \( x = 1 \), dove \( f(x) \geq g(x) \):

\[ \text{Area}_2 = \int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \]

Area totale = \(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)

Soluzione dettagliata per la domanda 7. La risposta corretta è c).

Osserviamo che essendo la regione illimitata, l'area può essere finita o infinita. Calcoliamo l'integrale improprio di \( f(x) \) da 1 a \( +\infty \):

\[ \text{Area} = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx \]

Per calcolare l'integrale improprio, consideriamo il limite per \( k \) che tende a \( +\infty \) dell'integrale da 1 a \( k \):

\[ \lim_{k \to +\infty} \int_{1}^{k} \frac{1}{x} \, dx \]

Calcoliamo l'integrale:

\[ \int_{1}^{k} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln(x) \right]_{1}^{k} = \ln(k) - \ln(1) = \ln(k) \]

Ora calcoliamo il limite per \( k \) che tende a \( +\infty \):

\[ \lim_{k \to +\infty} \ln(k) = +\infty \]

Quindi, l'area è infinita.

Soluzione dettagliata per la domanda 8. La risposta corretta è c).

1. Calcolare la tangente nell'origine:

   La derivata di \( f(x) \) è:

   \[ f'(x) = \sqrt{4 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \]

   Valutata nell'origine (\( x = 0 \)):

   \[ f'(0) = \sqrt{4} = 2 \]

   Quindi, l'equazione della tangente nell'origine è \( g(x) = 2x \).

2. Confronto tra \( f(x) \) e \( g(x) \) nell'intervallo \([0; 1]\):
   • Il grafico di \( f(x) \) in \([0; 1]\) è sempre sopra l'asse \( x \).
   • Calcoliamo \( f(1) \) e \( g(1) \): \[ f(1) = 1 \cdot \sqrt{4 - 1^2} = \sqrt{3} \] \[ g(1) = 2 \cdot 1 = 2 \]
   • Poiché \( g(1) > f(1) \), la tangente nell'origine nell'intervallo indicato sta al di sopra del grafico di \( f(x) \).
3. Calcolare l'area compresa tra \( g(x) \) e \( f(x) \):

   L'area è data dall'integrale di \( g(x) - f(x) \) tra 0 e 1:

   \[ \text{Area} = \int_{0}^{1} (2x - x\sqrt{4 - x^2}) \, dx \]

   Calcoliamo l'integrale:

   \[ \int_{0}^{1} (2x - x\sqrt{4 - x^2}) \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x\sqrt{4 - x^2} \, dx \]

   Il primo termine è: \( [x^2]_0^1 = 1 \). Per il secondo, con \( u = 4 - x^2 \):

   \[ \frac{1}{2} \int_{3}^{4} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{3}^{4} = \frac{1}{3} \left( 8 - 3\sqrt{3} \right) \]

   Quindi: \( \text{Area} = 1 - \frac{1}{3}(8 - 3\sqrt{3}) = -\frac{5}{3} + \sqrt{3} \).

Soluzione dettagliata per la domanda 9. La risposta corretta è c).

1. Trovare l'equazione della retta tangente \( t \):

   La retta \( t \) è tangente sia a \( f(x) = x^2 + 1 \) che a \( g(x) = x^2 - 8x + 9 \).

   Supponiamo che l'equazione della retta tangente sia \( y = mx + q \).

   Per la tangenza a \( f(x) \):

   \[ f(x) = mx + q \implies x^2 + 1 = mx + q \]

   Per la tangenza a \( g(x) \):

   \[ g(x) = mx + q \implies x^2 - 8x + 9 = mx + q \]

   Sistema di equazioni che si ottiene annullando i discriminanti delle due equazioni precedenti:

   \[ \begin{cases} m^2 + 4(q - 1) = 0 \\ (8 + m)^2 + 4(q - 9) = 0 \end{cases} \]

   Sviluppiamo e sottraiamo membro a membro:

   \[ m^2 + 16m + 4q + 28 - (m^2 + 4q - 4) = 0 \implies 16m + 32 = 0 \implies m = -2 \]

   Sostituendo \( m = -2 \) nella prima equazione:

   \[ (-2)^2 + 4(q - 1) = 0 \implies 4 + 4q - 4 = 0 \implies q = 0 \]

   Quindi, l'equazione della retta tangente è \( h(x) = -2x \).

2. Trovare i punti di tangenza:
   • Punto di tangenza con \( f(x) \): Risolviamo \( x^2 + 1 = -2x \): \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x + 1)^2 = 0 \implies x = -1 \] Il punto di tangenza è \( A = (-1, 2) \).
   • Punto di tangenza con \( g(x) \): Risolviamo \( x^2 - 8x + 9 = -2x \): \[ x^2 - 6x + 9 = 0 \implies (x - 3)^2 = 0 \implies x = 3 \] Il punto di tangenza è \( C = (3, -6) \).
3. Trovare il punto di intersezione \( B \) tra \( f(x) \) e \( g(x) \):

   Mettiamo a sistema le equazioni:

   \[ x^2 + 1 = x^2 - 8x + 9 \]

   Semplificando:

   \[ 1 = -8x + 9 \implies 8x = 8 \implies x = 1 \]

   Sostituendo \( x = 1 \) in \( f(x) \):

   \[ f(1) = 1^2 + 1 = 2 \]

   Il punto di intersezione è \( B = (1, 2) \).

4. Calcolare l'area della regione delimitata dai grafici di \( f(x) \), \( g(x) \) e \( t \):

   L'area si trova calcolando l'integrale fra -1 e 1 di \( f(x) - h(x) \), l'integrale fra 1 e 3 di \( g(x) - h(x) \) e sommando questi due integrali (OSSERVA IL GRAFICO).

   Integrale di \( f(x) - h(x) \) tra -1 e 1:

   \[ \int_{-1}^{1} (x^2 + 1 - (-2x)) \, dx = \int_{-1}^{1} (x^2 + 2x + 1) \, dx \]

   Calcoliamo l'integrale:

   \[ \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1}{3} + 1 + 1 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 1 - 1 \right) = \frac{1}{3} + 1 + 1 + \frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \]

   Integrale di \( g(x) - h(x) \) tra 1 e 3:

   \[ \int_{1}^{3} (x^2 - 8x + 9 - (-2x)) \, dx = \int_{1}^{3} (x^2 - 6x + 9) \, dx \]

   Calcoliamo l'integrale:

   \[ \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right]_{1}^{3} = \left( \frac{27}{3} - 27 + 27 \right) - \left( \frac{1}{3} - 3 + 9 \right) = \frac{27}{3} - 27 + 27 - \frac{1}{3} + 3 - 9 = \frac{26}{3} - 6 = \frac{8}{3} \]

   Sommando questi due integrali, otteniamo l'area totale:

   \[ \text{Area} = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \]

Soluzione dettagliata per la domanda 10. La risposta corretta è b).

Osserviamo che essendo la regione illimitata, l'area può essere finita o infinita. Calcoliamo l'integrale improprio di \( f(x) \) da 0 a \( +\infty \):

\[ \text{Area} = \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx \]

Per calcolare l'integrale improprio, consideriamo il limite per \( k \) che tende a \( +\infty \) dell'integrale da 0 a \( k \):

\[ \lim_{k \to +\infty} \int_{0}^{k} e^{-x} \, dx \]

Calcoliamo l'integrale:

\[ \int_{0}^{k} e^{-x} \, dx = \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{k} = -e^{-k} + 1 \]

Ora calcoliamo il limite per \( k \) che tende a \( +\infty \):

\[ \lim_{k \to +\infty} (-e^{-k} + 1) = 0 + 1 = 1 \]

Quindi, l'area è finita e vale 1.