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Test sulla definizione di Limite

1. Quale delle seguenti è la definizione formale del limite di una funzione reale f(x) per x che tende a x₀?

Spiegazione Domanda 1:

Perché è corretta: La risposta corretta è: a) limx→x₀ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se 0 < |x - x₀| < δ allora |f(x) - L| < ε

Questa è la definizione formale di limite di una funzione finita in un punto finito (definizione di Cauchy). Essa stabilisce che, per ogni "vicinanza" (ε) che si vuole al limite L, è sempre possibile trovare un "intorno" (δ) del punto x₀ tale che tutti i valori di f(x) (escluso eventualmente f(x₀) stesso, indicato da 0 < |x - x₀|) ricadano in quell'intervallo di vicinanza a L.

Perché le altre sono scorrette:

  • b) Errore nell'ordine di ε e δ: La definizione corretta richiede che per ogni ε (quanto vicini vogliamo essere al limite) esista un δ (quanto vicini dobbiamo essere a x₀). Invertire l'ordine dei quantificatori ("per ogni δ esiste un ε") cambia completamente il significato, rendendola errata.
  • c) Errore nella condizione finale e nell'esclusione di x₀: Affermare "allora f(x) = L" è troppo restrittivo; la funzione deve solo essere "vicina" a L (|f(x) - L| < ε). Inoltre, l'assenza di "0 < |x - x₀|" non esclude il punto x₀ stesso, mentre nella definizione di limite il comportamento in x₀ non è rilevante.
  • d) Errore nell'esclusione di x₀: Mancando la condizione "0 < |x - x₀|", questa opzione implicherebbe che il comportamento della funzione nel punto x₀ stesso debba soddisfare la condizione di vicinanza al limite, cosa non richiesta dalla definizione di limite. Il limite descrive il comportamento della funzione vicino al punto, non nel punto.

2. Quale condizione è necessaria affinché esista il limite di una funzione in un punto x₀?

Spiegazione Domanda 2:

Perché è corretta: La risposta corretta è: c) Il limite sinistro deve essere uguale al limite destro

Una condizione fondamentale per l'esistenza del limite di una funzione in un punto è che i limiti laterali (destro e sinistro) esistano e siano uguali tra loro. Se sono diversi, la funzione "salta" in quel punto e il limite non può esistere in senso assoluto.

Perché le altre sono scorrette:

  • a) La funzione deve essere continua in x₀: La continuità è una condizione più forte dell'esistenza del limite. Una funzione può avere un limite in x₀ senza essere continua in x₀ (ad esempio, se ha una discontinuità eliminabile, un "buco").
  • b) La funzione deve essere definita in x₀: L'esistenza del limite non richiede che la funzione sia definita nel punto x₀. Il limite descrive il comportamento della funzione vicino al punto, non nel punto.
  • d) La funzione deve essere derivabile in x₀: La derivabilità è una condizione ancora più forte della continuità. Una funzione può avere un limite in un punto senza essere derivabile lì.

3. Cosa significa che limx→x₀ f(x) = +∞?

Spiegazione Domanda 3:

Perché è corretta: La risposta corretta è: a) Per ogni M > 0 esiste un δ > 0 tale che se 0 < |x - x₀| < δ allora f(x) > M

Questa è la definizione formale di limite infinito in un punto finito. Significa che per quanto grande (M) si voglia un valore per f(x), è sempre possibile trovare un intorno (δ) di x₀ tale che per ogni x in quell'intorno (escluso x₀ stesso), f(x) superi M.

Perché le altre sono scorrette:

  • b) Errore nell'ordine dei quantificatori (δ e M): La definizione corretta è "per ogni M... esiste un δ". Invertire l'ordine ("per ogni δ... esiste un M") è un errore logico che cambia radicalmente il significato.
  • c) Errore nell'esclusione di x₀: L'assenza di "0 < |x - x₀|" implica che anche f(x₀) debba superare M, cosa non richiesta dalla definizione di limite. Il limite si riferisce al comportamento vicino al punto.
  • d) Errore nell'ordine dei quantificatori e nella logica: "Esiste un M... per ogni δ" è completamente errato. La proprietà deve valere per qualsiasi M grande si scelga.

4. Come si definisce formalmente il limite destro di una funzione?

Spiegazione Domanda 4:

Perché è corretta: La risposta corretta è: c) limx→x₀⁺ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se 0 < x - x₀ < δ allora |f(x) - L| < ε

Questa definizione descrive correttamente il limite destro. La condizione "0 < x - x₀ < δ" significa che x si sta avvicinando a x₀ solo da valori maggiori di x₀ (cioè dalla destra di x₀) e non è x₀ stesso.

Perché le altre sono scorrette:

  • a) Errore nella condizione finale: "L < f(x) < L+ε" non è la definizione standard di vicinanza al limite. La vicinanza è data da un intorno simmetrico del limite, ovvero |f(x) - L| < ε. Inoltre, non specifica l'esclusione di x₀ in modo chiaro.
  • b) Definizione di limite sinistro: La condizione "x₀ - δ < x < x₀" descrive un approccio da sinistra a x₀, non da destra.
  • d) Errore nell'ordine di ε e δ: La definizione corretta è "per ogni ε... esiste un δ", non il contrario. La scelta di δ dipende da quanto piccolo è ε.

5. Quando si dice che una funzione ha un limite finito per x che tende a + infinito?

Spiegazione Domanda 5:

Perché è corretta: La risposta corretta è: a) limx→+∞ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un M > 0 tale che se x > M allora |f(x) - L| < ε

Questa è la definizione formale di limite finito all'infinito. Significa che per qualsiasi intervallo di vicinanza (ε) al limite L, è possibile trovare un valore M tale che per tutti gli x maggiori di M, i valori di f(x) cadano in quell'intervallo attorno a L.

Perché le altre sono scorrette:

  • b) Errore nell'ordine dei quantificatori (M e ε): La definizione corretta è "per ogni ε... esiste un M". Invertire l'ordine dei quantificatori è un errore logico.
  • c) Eccessivamente complessa e errata: La frase "per ogni x esiste un y > M tale che" è un costrutto non standard e errato per la definizione di limite. La condizione deve valere per tutti gli x maggiori di M.
  • d) Errore nell'ordine dei quantificatori (δ e M): Non si usano δ per l'infinito; si usa M per x e ε per f(x). Inoltre, l'ordine è invertito.

6. Qual è la condizione affinché il limite di una funzione per x che tende a x₀ non esista?

Spiegazione Domanda 6:

Perché è corretta: La risposta corretta è: b) I limiti destro e sinistro in x₀ sono diversi o almeno uno di essi non esiste

Questa è la condizione necessaria e sufficiente affinché il limite di una funzione in un punto non esista. Se i limiti laterali sono diversi (ad esempio, un salto nella funzione) o se uno dei due non esiste (ad esempio, un'oscillazione infinita da un lato), allora il limite complessivo non può esistere.

Perché le altre sono scorrette:

  • a) La funzione non è definita in x₀: Una funzione può avere un limite in un punto anche se non è definita in quel punto (es. un "buco" nel grafico).
  • c) La funzione ha un'asintoto verticale in x₀: Se la funzione ha un asintoto verticale in x₀, i limiti laterali possono tendere a +∞ o -∞. In questo caso, il limite non è un numero finito, ma si dice che il limite "esiste" e vale infinito (o non esiste se i laterali sono infiniti di segno opposto). La domanda si riferisce all'esistenza del limite in senso più generale (anche come infinito). Tuttavia, questa risposta si riferisce a un caso specifico e non alla condizione generale di non esistenza del limite. La non esistenza del limite finito in un punto può avvenire in molti altri modi. Se si intendesse "limite finito", allora si, ma la domanda è generale.
  • d) La funzione non è continua in x₀: La non continuità non implica necessariamente la non esistenza del limite. Una funzione può essere discontinua ma avere comunque un limite nel punto (es. una discontinuità eliminabile).

7. Quale delle seguenti affermazioni sulla definizione di limite è corretta?

Spiegazione Domanda 7:

Perché è corretta: La risposta corretta è: c) Nella definizione di limite, δ dipende da ε, da x₀ e dal valore L

Il valore di δ (l'ampiezza dell'intorno di x₀) dipende da quanto piccolo vogliamo l'intervallo ε (la vicinanza a L), dalla posizione del punto x₀ (la pendenza della funzione può essere diversa in punti diversi) e dal valore del limite L stesso (in quanto parte della definizione |f(x)-L|). È una dipendenza combinata.

Perché le altre sono scorrette:

  • a) Dipende solo dal punto x₀: Falso, δ dipende anche da ε e dalla funzione stessa.
  • b) Dipende solo da ε: Falso, anche se δ è scelto in base a ε, la relazione specifica dipende dalla funzione e dal punto x₀.
  • d) ε dipende da δ: Falso, nella definizione di limite, ε è scelto arbitrariamente (per ogni ε > 0), ed è in base a questo che si trova un δ. La dipendenza è nella direzione opposta.

8. Quali condizioni deve soddisfare una funzione per avere un limite finito quando x tende a -∞?

Spiegazione Domanda 8:

Perché è corretta: La risposta corretta è: a) limx→-∞ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un M < 0 tale che se x < M allora |f(x) - L| < ε

Questa è la definizione formale di limite finito a meno infinito. "Per ogni ε > 0" indica la vicinanza desiderata al limite L. "Esiste un M < 0" significa che possiamo trovare un valore negativo sufficientemente piccolo (lontano da 0 verso sinistra) tale che "se x < M", ovvero per tutti i valori di x ancora più a sinistra di M, la funzione f(x) è "vicina" a L (|f(x) - L| < ε).

Perché le altre sono scorrette:

  • b) Errore nell'ordine dei quantificatori: La definizione è "per ogni ε... esiste un M", non il contrario.
  • c) Imprecisa e errata: La frase "per ogni x < 0" è troppo generica e non cattura l'idea che x deve tendere a -∞. Non richiede l'esistenza di un M.
  • d) Condizione errata su M: Sebbene "x < -M" possa sembrare simile (se M > 0, allora -M < 0), la formulazione standard e più chiara per x che tende a -∞ è "esiste un M < 0 tale che se x < M".

9. Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al limite di una funzione?

Spiegazione Domanda 9:

Perché è corretta: La risposta corretta è: c) Se limx→x₀ f(x) = L, allora limx→x₀ |f(x)| = |L| è sempre vero

Questa è una proprietà dei limiti. Se il limite di una funzione esiste, allora il limite del valore assoluto di quella funzione è uguale al valore assoluto del limite. Questa è una conseguenza della continuità della funzione valore assoluto.

Perché le altre sono scorrette:

  • a) Se limx→x₀ f(x) = L, allora f è necessariamente definita in x₀: Falso. Il limite di una funzione descrive il suo comportamento vicino a x₀, non nel punto x₀. La funzione può non essere definita in x₀ (es. f(x) = (x^2-1)/(x-1) per x→1).
  • b) Se f è continua in x₀, allora esiste limx→x₀ f(x): Questa affermazione è vera, ma la domanda cerca quella corretta tra le opzioni presentate e la 'c' è una proprietà fondamentale dei limiti. La continuità implica l'esistenza del limite, ma l'esistenza del limite non implica la continuità (o la definizione nel punto). Tuttavia, la formulazione "è sempre vero" nella 'c' la rende una proprietà più universale e meno dipendente da altre condizioni come la continuità del punto.
  • d) Se limx→x₀ f(x) = 0, allora f(x₀) = 0: Falso. Simile al punto 'a', il limite non dice nulla sul valore della funzione nel punto. Ad esempio, per f(x) = { x & x ≠ 0 \\ 1 & x = 0 }, limx→0 f(x) = 0 ma f(0) = 1.

10. Come si definisce l'unicità del limite di una funzione?

Spiegazione Domanda 10:

Perché è corretta: La risposta corretta è: a) Il limite di una funzione in un punto, se esiste, è unico perché se limx→x₀ f(x) = L₁ e limx→x₀ f(x) = L₂, allora L₁ = L₂

Questo è il Teorema dell'Unicità del Limite. È una proprietà fondamentale dei limiti che afferma che una funzione non può tendere contemporaneamente a due valori diversi nello stesso punto. Se esistessero due limiti, L₁ e L₂, dovrebbero essere uguali. Questo si dimostra per assurdo.

Perché le altre sono scorrette:

  • b) Dipendenza dalla continuità: Falso. L'unicità del limite è una proprietà intrinseca della definizione di limite e non dipende dalla continuità della funzione nel punto. Il limite è unico se esiste, a prescindere dal fatto che la funzione sia continua lì o meno.
  • c) Dipendenza dalla derivabilità: Falso. La derivabilità è una condizione molto più forte e non è correlata all'unicità del limite.
  • d) Il limite di una funzione in un punto non è necessariamente unico: Falso. Per definizione e per teorema, il limite di una funzione in un punto, se esiste, è sempre unico. L'affermazione che possa avere diversi valori a seconda della direzione di approccio è ciò che porterebbe alla non esistenza del limite (se i limiti laterali fossero diversi), non alla sua non unicità.

 

INDICE TEST

Risultati del quiz

Risposte esatte: 0

Risposte errate: 0

Risposte omesse: 0