Test sulla definizione di limite

1. Quale delle seguenti è la definizione formale del limite di una funzione reale f(x) per x che tende a x₀?

lim_x→x₀ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se 0 < |x - x₀| < δ allora |f(x) - L| < ε

lim_x→x₀ f(x) = L se e solo se per ogni δ > 0 esiste un ε > 0 tale che se 0 < |x - x₀| < δ allora |f(x) - L| < ε

lim_x→x₀ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se |x - x₀| < δ allora f(x) = L

lim_x→x₀ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se |x - x₀| < δ allora |f(x) - L| < ε

Risposta corretta: A

La definizione formale (epsilon-delta) del limite richiede che:

Per ogni ε > 0 (quanto piccolo vogliamo che sia l'errore)
Esista un δ > 0 (distanza dal punto x₀)
Tale che se 0 < |x - x₀| < δ (x è vicino a x₀ ma diverso da x₀)
Allora |f(x) - L| < ε (f(x) è vicino a L)

La condizione 0 < |x - x₀| è fondamentale perché esclude il punto x₀ stesso - il limite riguarda il comportamento intorno al punto, non nel punto.

2. Quale condizione è necessaria affinché esista il limite di una funzione in un punto x₀?

La funzione deve essere continua in x₀

La funzione deve essere definita in x₀

Il limite sinistro deve essere uguale al limite destro

La funzione deve essere derivabile in x₀

Risposta corretta: C

Il limite di una funzione esiste se e solo se:

Il limite sinistro lim_x→x₀⁻ f(x) esiste
Il limite destro lim_x→x₀⁺ f(x) esiste
Sono uguali tra loro

La funzione NON deve necessariamente essere definita in x₀, né continua, né derivabile. Ad esempio, la funzione f(x) = sin(x)/x non è definita in x = 0, ma ha limite 1 per x → 0.

3. Cosa significa che lim_x→x₀ f(x) = +∞?

Per ogni M > 0 esiste un δ > 0 tale che se 0 < |x - x₀| < δ allora f(x) > M

Per ogni δ > 0 esiste un M > 0 tale che se 0 < |x - x₀| < δ allora f(x) > M

Per ogni M > 0 esiste un δ > 0 tale che se |x - x₀| < δ allora f(x) > M

Esiste un M > 0 tale che per ogni δ > 0 se 0 < |x - x₀| < δ allora f(x) > M

Risposta corretta: A

Il limite infinito significa che la funzione può diventare arbitrariamente grande:

Per ogni M > 0 (quanto grande vogliamo che sia f(x))
Esiste δ > 0 (un intorno di x₀)
Tale che se 0 < |x - x₀| < δ allora f(x) > M

In altre parole, avvicinandosi sufficientemente a x₀, la funzione supera qualsiasi valore prefissato M. È importante che sia "per ogni M" e non "esiste un M".

4. Come si definisce formalmente il limite destro di una funzione?

lim_x→x₀⁺ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se x₀ < x < x₀ + δ allora L < f(x) < L+ε

lim_x→x₀⁺ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se x₀ - δ < x < x₀ allora |f(x) - L| < ε

lim_x→x₀⁺ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se 0 < x - x₀ < δ allora |f(x) - L| < ε

lim_x→x₀⁺ f(x) = L se e solo se per ogni δ > 0 esiste un ε > 0 tale che se x₀ < x < x₀ + δ allora |f(x) - L| < ε

Risposta corretta: C

Il limite destro considera solo i valori di x maggiori di x₀:

Per ogni ε > 0
Esiste δ > 0
Tale che se 0 < x - x₀ < δ (cioè x₀ < x < x₀ + δ)
Allora |f(x) - L| < ε

La condizione 0 < x - x₀ < δ è equivalente a x₀ < x < x₀ + δ e garantisce che consideriamo solo i punti a destra di x₀.

5. Quando si dice che una funzione ha un limite finito per x che tende a + infinito?

lim_x→+∞ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un M > 0 tale che se x > M allora |f(x) - L| < ε

lim_x→+∞ f(x) = L se e solo se per ogni M > 0 esiste un ε > 0 tale che se x > M allora |f(x) - L| < ε

lim_x→+∞ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un M > 0 tale che per ogni x esiste un y > M tale che |f(y) - L| < ε

lim_x→+∞ f(x) = L se e solo se per ogni δ > 0 esiste un M > 0 tale che se x > M allora |f(x) - L| < δ

Risposta corretta: A

Il limite all'infinito significa che la funzione si avvicina al valore L quando x diventa molto grande:

Per ogni ε > 0 (precisione desiderata)
Esiste M > 0 (soglia per x)
Tale che se x > M allora |f(x) - L| < ε

In sostanza, per x sufficientemente grandi, f(x) è vicina quanto vogliamo a L. Ad esempio, lim_x→+∞ 1/x = 0.

6. Qual è la condizione affinché il limite di una funzione per x che tende a x₀ non esista?

La funzione non è definita in x₀

I limiti destro e sinistro in x₀ sono diversi o almeno uno di essi non esiste

La funzione ha un'asintoto verticale in x₀

La funzione non è continua in x₀

Risposta corretta: B

Il limite non esiste quando:

Il limite sinistro e destro sono diversi (discontinuità a salto)
Uno dei due limiti unilaterali non esiste
Entrambi i limiti unilaterali non esistono

Esempi:

f(x) = |x|/x in x = 0: lim_x→0⁻ = -1, lim_x→0⁺ = 1
f(x) = sin(1/x) in x = 0: oscilla continuamente

La definizione della funzione in x₀ non è rilevante per l'esistenza del limite.

7. Quale delle seguenti affermazioni sulla definizione di limite è corretta?

Nella definizione di limite, δ dipende solo dal punto x₀

Nella definizione di limite, δ dipende solo da ε

Nella definizione di limite, δ dipende da ε, da x₀ e dal valore L

Nella definizione di limite, ε dipende da δ

Risposta corretta: C

Il valore di δ dipende da tutti i parametri coinvolti:

ε: più piccolo è ε, più piccolo deve essere δ
x₀: il punto intorno al quale studiamo il limite
L: il valore del limite
La funzione f: funzioni diverse richiedono δ diversi

Ad esempio, per f(x) = 2x e limite L = 4 in x₀ = 2, abbiamo δ = ε/2. Se cambiassimo x₀ o L, cambierebbe anche la relazione tra δ e ε.

8. Quali condizioni deve soddisfare una funzione per avere un limite finito quando x tende a -∞?

lim_x→-∞ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un M < 0 tale che se x < M allora |f(x) - L| < ε

lim_x→-∞ f(x) = L se e solo se per ogni M < 0 esiste un ε > 0 tale che se x < M allora |f(x) - L| < ε

lim_x→-∞ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 e per ogni x < 0, |f(x) - L| < ε

lim_x→-∞ f(x) = L se e solo se per ogni ε > 0 esiste un M > 0 tale che se x > M allora |f(x) - L| < ε

Risposta corretta: A

Per il limite a -∞:

Per ogni ε > 0 (precisione desiderata)
Esiste M < 0 (soglia negativa)
Tale che se x < M allora |f(x) - L| < ε

La condizione x < M con M < 0 significa che stiamo considerando x sempre più negativi. Ad esempio, se M = -100, allora x < -100, quindi x = -101, -200, ecc.

9. Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al limite di una funzione?

Se lim_x→x₀ f(x) = L, allora f è necessariamente definita in x₀

Se f è continua in x₀, allora esiste lim_x→x₀ f(x)

Se lim_x→x₀ f(x) = L, allora lim_x→x₀ |f(x)| = |L| è vero solo se L non è nullo

Se lim_x→x₀ f(x) = 0, allora f(x₀) = 0

Risposta corretta: B

Analizziamo le opzioni:

A - FALSA: f(x) = sin(x)/x ha limite 1 per x→0 ma non è definita in x = 0
B - VERA: Se f è continua in x₀, per definizione lim_x→x₀ f(x) = f(x₀), quindi il limite esiste
C - FALSA: È vero anche se L=0
D - FALSA: Il limite riguarda il comportamento intorno al punto, non nel punto stesso

10. Come si definisce l'unicità del limite di una funzione?

Il limite di una funzione in un punto, se esiste, è unico perché se lim_x→x₀ f(x) = L₁ e lim_x→x₀ f(x) = L₂, allora L₁ = L₂

Il limite di una funzione in un punto, se esiste, è unico se e solo se la funzione è continua in quel punto

Il limite di una funzione in un punto, se esiste, è unico se e solo se la funzione è derivabile in quel punto

Il limite di una funzione in un punto non è necessariamente unico, può avere diversi valori a seconda della direzione di approccio

Risposta corretta: A

Il teorema di unicità del limite stabilisce che:

Se il limite esiste, allora è unico
Non possono esistere due limiti diversi L₁ e L₂ per la stessa funzione nello stesso punto

Dimostrazione per assurdo: Se esistessero L₁ ≠ L₂, prendendo ε = |L₁ - L₂|/3, otterremmo una contraddizione perché gli intorni di L₁ e L₂ non si sovrapporrebbero.

L'unicità è una proprietà intrinseca del limite e non dipende dalla continuità o derivabilità della funzione.

Test sulla definizione di Limite

1. Quale delle seguenti è la definizione formale del limite di una funzione reale f(x) per x che tende a x₀?

Risposta corretta: A

2. Quale condizione è necessaria affinché esista il limite di una funzione in un punto x₀?

Risposta corretta: C

3. Cosa significa che lim_x→x₀ f(x) = +∞?

Risposta corretta: A

4. Come si definisce formalmente il limite destro di una funzione?

Risposta corretta: C

5. Quando si dice che una funzione ha un limite finito per x che tende a + infinito?

Risposta corretta: A

6. Qual è la condizione affinché il limite di una funzione per x che tende a x₀ non esista?

Risposta corretta: B

7. Quale delle seguenti affermazioni sulla definizione di limite è corretta?

Risposta corretta: C

8. Quali condizioni deve soddisfare una funzione per avere un limite finito quando x tende a -∞?

Risposta corretta: A

9. Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al limite di una funzione?

Risposta corretta: B

10. Come si definisce l'unicità del limite di una funzione?

Risposta corretta: A

Risultati del quiz

Test sulla definizione di Limite

1. Quale delle seguenti è la definizione formale del limite di una funzione reale f(x) per x che tende a x₀?

Risposta corretta: A

2. Quale condizione è necessaria affinché esista il limite di una funzione in un punto x₀?

Risposta corretta: C

3. Cosa significa che limx→x₀ f(x) = +∞?

Risposta corretta: A

4. Come si definisce formalmente il limite destro di una funzione?

Risposta corretta: C

5. Quando si dice che una funzione ha un limite finito per x che tende a + infinito?

Risposta corretta: A

6. Qual è la condizione affinché il limite di una funzione per x che tende a x₀ non esista?

Risposta corretta: B

7. Quale delle seguenti affermazioni sulla definizione di limite è corretta?

Risposta corretta: C

8. Quali condizioni deve soddisfare una funzione per avere un limite finito quando x tende a -∞?

Risposta corretta: A

9. Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al limite di una funzione?

Risposta corretta: B

10. Come si definisce l'unicità del limite di una funzione?

Risposta corretta: A

Risultati del quiz

3. Cosa significa che lim_x→x₀ f(x) = +∞?