Soluzione quesito 1: Calcolo dei Rapporti Incrementali

Il rapporto incrementale è definito come: \(R(h) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\).

a) \(f(x)=2x^2+x\), \(x_0=1\)

Calcolo i termini:

• \(f(x_0) = f(1) = 2(1)^2 + 1 = 3\)
• \(f(x_0+h) = f(1+h) = 2(1+h)^2 + (1+h) = 2(1+2h+h^2) + 1+h = 2+4h+2h^2 + 1+h = 2h^2 + 5h + 3\)

\[ R(h) = \frac{(2h^2 + 5h + 3) - 3}{h} = \frac{2h^2 + 5h}{h} = \frac{h(2h + 5)}{h} = \mathbf{2h + 5} \]

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b) \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\), \(x_0=0\)

Calcolo i termini:

• \(f(x_0) = f(0) = \frac{0+1}{0-1} = -1\)
• \(f(x_0+h) = f(h) = \frac{h+1}{h-1}\)

\[ R(h) = \frac{\frac{h+1}{h-1} - (-1)}{h} = \frac{\frac{h+1}{h-1} + \frac{h-1}{h-1}}{h} = \frac{\frac{h+1 + h-1}{h-1}}{h} = \frac{2h}{h(h-1)} = \mathbf{\frac{2}{h-1}} \]

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c) \(f(x)=x^3\), \(x_0=-1\)

Calcolo i termini:

• \(f(x_0) = f(-1) = (-1)^3 = -1\)
• \(f(x_0+h) = f(-1+h) = (-1+h)^3 = (-1)^3 + 3(-1)^2h + 3(-1)h^2 + h^3 = h^3 - 3h^2 + 3h - 1\)

\[ R(h) = \frac{(h^3 - 3h^2 + 3h - 1) - (-1)}{h} = \frac{h^3 - 3h^2 + 3h}{h} = \frac{h(h^2 - 3h + 3)}{h} = \mathbf{h^2 - 3h + 3} \]

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d) \(f(x)=\sqrt{x+1}\), \(x_0=2\)

Calcolo i termini:

• \(f(x_0) = f(2) = \sqrt{2+1} = \sqrt{3}\)
• \(f(x_0+h) = f(2+h) = \sqrt{(2+h)+1} = \sqrt{3+h}\)

\[ R(h) = \frac{\sqrt{3+h} - \sqrt{3}}{h} \]

Moltiplichiamo e dividiamo per il coniugato (\(\sqrt{3+h} + \sqrt{3}\)):

\[ R(h) = \frac{(\sqrt{3+h} - \sqrt{3})(\sqrt{3+h} + \sqrt{3})}{h(\sqrt{3+h} + \sqrt{3})} = \frac{(3+h) - 3}{h(\sqrt{3+h} + \sqrt{3})} = \frac{h}{h(\sqrt{3+h} + \sqrt{3})} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{3+h} + \sqrt{3}}} \]

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e) \(f(x)=\sin(2x)\), \(x_0=0\)

Calcolo i termini:

• \(f(x_0) = f(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0\)
• \(f(x_0+h) = f(h) = \sin(2h)\)

\[ R(h) = \frac{\sin(2h) - 0}{h} = \mathbf{\frac{\sin(2h)}{h}} \]

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f) \(f(x)=\cos(x)\), \(x_0=\pi\)

Calcolo i termini:

• \(f(x_0) = f(\pi) = \cos(\pi) = -1\)
• \(f(x_0+h) = f(\pi+h) = \cos(\pi+h)\)

Per la formula di addizione del coseno: \(\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta\):

\[ f(\pi+h) = \cos(\pi)\cos(h) - \sin(\pi)\sin(h) = (-1)\cos(h) - (0)\sin(h) = -\cos(h) \] \[ R(h) = \frac{-\cos(h) - (-1)}{h} = \frac{1 - \cos(h)}{h} = \mathbf{\frac{1 - \cos(h)}{h}} \]

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h) \(f(x)=\ln(2x+1)\), \(x_0=0\)

Calcolo i termini:

• \(f(x_0) = f(0) = \ln(2 \cdot 0 + 1) = \ln(1) = 0\)
• \(f(x_0+h) = f(h) = \ln(2h + 1)\)

\[ R(h) = \frac{\ln(2h + 1) - 0}{h} = \mathbf{\frac{\ln(2h + 1)}{h}} \]

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i) \(f(x)=e^{1-x}\), \(x_0=1\)

Calcolo i termini:

• \(f(x_0) = f(1) = e^{1-1} = e^0 = 1\)
• \(f(x_0+h) = f(1+h) = e^{1-(1+h)} = e^{1-1-h} = e^{-h}\)

\[ R(h) = \frac{e^{-h} - 1}{h} = \mathbf{\frac{e^{-h} - 1}{h}} \]

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l) \(f(x)=2^x\), \(x_0=x\) (Nota: \(x_0\) non è un numero, si intende per un generico \(x\))

Se \(x_0\) è un generico punto \(x\), il rapporto incrementale è in un punto \(x\):

Calcolo i termini:

• \(f(x_0) = f(x) = 2^x\)
• \(f(x_0+h) = f(x+h) = 2^{x+h} = 2^x \cdot 2^h\)

\[ R(h) = \frac{2^x \cdot 2^h - 2^x}{h} = \frac{2^x (2^h - 1)}{h} = \mathbf{2^x \cdot \frac{2^h - 1}{h}} \]

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m) \(f(x)=\frac{1}{\ln(x)}\), \(x_0=x\) (Nota: \(x_0\) non è un numero, si intende per un generico \(x\))

Se \(x_0\) è un generico punto \(x\), il rapporto incrementale è in un punto \(x\):

Calcolo i termini:

• \(f(x_0) = f(x) = \frac{1}{\ln(x)}\)
• \(f(x_0+h) = f(x+h) = \frac{1}{\ln(x+h)}\)

\[ R(h) = \frac{\frac{1}{\ln(x+h)} - \frac{1}{\ln(x)}}{h} = \frac{\frac{\ln(x) - \ln(x+h)}{\ln(x+h) \cdot \ln(x)}}{h} = \mathbf{\frac{\ln(x) - \ln(x+h)}{h \cdot \ln(x) \cdot \ln(x+h)}} \]

Usando la proprietà dei logaritmi \(\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)\):

\[ R(h) = \mathbf{\frac{1}{h} \cdot \frac{1}{\ln(x) \ln(x+h)} \cdot \ln\left(\frac{x}{x+h}\right)} \]

Soluzione quesito 2: Calcolo della Derivata con la Definizione

La derivata in \(x_0\) è il limite per \(h \to 0\) del rapporto incrementale \(R(h)\) calcolato nel quesito precedente.

a) \(f(x)=2x^2+x\), \(x_0=1\)

Partendo dal rapporto incrementale \(R(h) = 2h + 5\):

\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} (2h + 5) = 2(0) + 5 = \mathbf{5} \]

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b) \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\), \(x_0=0\)

Partendo dal rapporto incrementale \(R(h) = \frac{2}{h-1}\):

\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{h-1} = \frac{2}{0-1} = \mathbf{-2} \]

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c) \(f(x)=x^3\), \(x_0=-1\)

Partendo dal rapporto incrementale \(R(h) = h^2 - 3h + 3\):

\[ f'(-1) = \lim_{h \to 0} (h^2 - 3h + 3) = (0)^2 - 3(0) + 3 = \mathbf{3} \]

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d) \(f(x)=\sqrt{x+1}\), \(x_0=2\)

Partendo dal rapporto incrementale \(R(h) = \frac{1}{\sqrt{3+h} + \sqrt{3}}\):

\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{3+h} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3+0} + \sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{6}} \]

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e) \(f(x)=\sin(2x)\), \(x_0=0\)

Partendo dal rapporto incrementale \(R(h) = \frac{\sin(2h)}{h}\). Usiamo il limite notevole \(\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1\):

\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(2h)}{h} = \lim_{h \to 0} 2 \cdot \frac{\sin(2h)}{2h} = 2 \cdot 1 = \mathbf{2} \]

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f) \(f(x)=\cos(x)\), \(x_0=\pi\)

Partendo dal rapporto incrementale \(R(h) = \frac{1 - \cos(h)}{h}\). Usiamo il limite notevole \(\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos(h)}{h} = 0\):

\[ f'(\pi) = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos(h)}{h} = \mathbf{0} \]

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g) \(f(x)=\ln(2x+1)\), \(x_0=0\)

Partendo dal rapporto incrementale \(R(h) = \frac{\ln(2h + 1)}{h}\). Usiamo il limite notevole \(\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1\):

\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1 + 2h)}{h} = \lim_{h \to 0} 2 \cdot \frac{\ln(1 + 2h)}{2h} = 2 \cdot 1 = \mathbf{2} \]

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h) \(f(x)=e^{1-x}\), \(x_0=1\)

Partendo dal rapporto incrementale \(R(h) = \frac{e^{-h} - 1}{h}\). Usiamo il limite notevole \(\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1\):

\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{-h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} - \frac{e^{-h} - 1}{-h} = -1 \cdot 1 = \mathbf{-1} \]

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i) \(f(x)=2^x\), \(x_0=x\) (Derivata generica)

Partendo dal rapporto incrementale \(R(h) = 2^x \cdot \frac{2^h - 1}{h}\). Usiamo il limite notevole \(\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln(a)\):

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} 2^x \cdot \frac{2^h - 1}{h} = 2^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{2^h - 1}{h} = \mathbf{2^x \cdot \ln(2)} \]

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j) \(f(x)=\frac{1}{\ln(x)}\), \(x_0=x\) (Derivata generica)

Partendo dal rapporto incrementale \(R(h) = \frac{\ln(x) - \ln(x+h)}{h \cdot \ln(x) \cdot \ln(x+h)}\). Usiamo la proprietà dei logaritmi e il limite notevole:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{-1}{\ln(x) \ln(x+h)} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}} \right] \] \[ f'(x) = \frac{-1}{\ln(x) \cdot \ln(x)} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1 = \mathbf{-\frac{1}{x \ln^2(x)}} \]

Soluzione quesito 3: Significati e Storia della Derivata

a) Significato Geometrico del Rapporto Incrementale

Il rapporto incrementale di una funzione \(f(x)\) calcolato in un intervallo \([x_0, x_0+h]\) è definito come: \[ R(h) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \] Geometricamente, il rapporto incrementale rappresenta il **coefficiente angolare (o pendenza)** della **retta secante** che interseca il grafico della funzione nei due punti \(P(x_0, f(x_0))\) e \(Q(x_0+h, f(x_0+h))\).

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b) Significato Cinematico del Rapporto Incrementale

In cinematica, se la funzione \(s(t)\) rappresenta la posizione (spazio) di un oggetto in funzione del tempo \(t\), il rapporto incrementale calcolato nell'intervallo di tempo \([t_0, t_0+h]\) rappresenta la **velocità media** dell'oggetto in quell'intervallo:

\[ v_{media} = \frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \]

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c) Significato Geometrico della Derivata

La derivata \(f'(x_0)\) è definita come il limite del rapporto incrementale per \(h \to 0\): \[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \] Geometricamente, la derivata in un punto \(x_0\) è il **coefficiente angolare (o pendenza)** della **retta tangente** al grafico della funzione nel punto \(P(x_0, f(x_0))\).

Questo concetto deriva dall'idea che, quando \(h\) tende a zero, la retta secante che passa per \(P\) e \(Q\) (con \(Q \to P\)) si trasforma nella retta tangente in \(P\).

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d) Significato Cinematico della Derivata

In cinematica, se la funzione \(s(t)\) rappresenta la posizione di un oggetto, la derivata \(s'(t_0)\) in un istante \(t_0\) rappresenta la **velocità istantanea** dell'oggetto in quell'istante.

\[ v_{istantanea} = \lim_{h \to 0} \frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h} \]

Questo valore indica la velocità esatta dell'oggetto nel momento preciso \(t_0\).

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Notizie Storiche: Le Origini del Concetto di Derivata

Il calcolo infinitesimale, di cui la derivata è un pilastro fondamentale, fu sviluppato indipendentemente e quasi contemporaneamente da due grandi matematici nel XVII secolo:

• **Gottfried Wilhelm Leibniz** (Germania 🇩🇪) si concentrò prevalentemente sul **problema della tangente**, cercando un metodo generale per determinare la pendenza della retta tangente a qualsiasi curva in un dato punto. Fu lui a introdurre la notazione differenziale (\(\frac{dy}{dx}\)) che usiamo ancora oggi.
• **Sir Isaac Newton** (Inghilterra 🇬🇧) si interessò maggiormente al **problema della velocità istantanea** e della variazione, studiando il moto e la fisica (problema cinematico). Egli chiamò il suo metodo "Metodo delle flussioni" e introdusse la notazione con il punto (\(\dot{x}\)) per indicare la derivata rispetto al tempo.

Nonostante la disputa sulla priorità della scoperta, è la sintesi dei loro lavori che ha portato allo sviluppo moderno del calcolo differenziale e integrale.

Clicca QUI per vedere una Mappa concettuale sulle origini del concetto di Derivata

Soluzione quesito 4:

Soluzione Parte A: Velocità Istantanea

La velocità istantanea \(v(t_0)\) è definita come la derivata della legge oraria \(s(t)\) calcolata in \(t_0\), ovvero il limite del rapporto incrementale:

\[ v(t_0) = s'(t_0) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h} \]

Nel nostro caso \(s(t) = 3t^2 + t\) e \(t_0 = 2\).

1. Calcoliamo i valori della funzione nei punti:

\[ s(2) = 3(2)^2 + 2 = 12 + 2 = 14 \] \[ s(2 + h) = 3(2 + h)^2 + (2 + h) = 3(4 + 4h + h^2) + 2 + h = 3h^2 + 13h + 14 \]

2. Calcoliamo il rapporto incrementale:

\[ \frac{s(2 + h) - s(2)}{h} = \frac{(3h^2 + 13h + 14) - 14}{h} = \frac{3h^2 + 13h}{h} = 3h + 13 \]

3. Calcoliamo il limite:

\[ v(2) = \lim_{h \to 0} (3h + 13) = 13 \]

La **velocità istantanea** del punto all'istante \(t_0 = 2\) è di **\(13\) metri al secondo**.

Soluzione Parte B: Retta Tangente e Angolo

L'equazione della retta tangente alla curva \(y = f(x)\) nel punto \(P(x_0, f(x_0))\) è data dalla formula:

\[ y - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0) \]

Nel nostro caso \(f(x) = x^2 - 2x + 2\) e \(x_0 = 2\).

1. **Coordinate del punto \(P\):** \[ f(2) = (2)^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2 \]

Il punto di tangenza è **\(P(2, 2)\)**.

2. **Coefficiente angolare \(m = f'(2)\) (usando la definizione di derivata):** \[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} \]

Il limite è stato calcolato nella sezione precedente ed è \(m = 2\).

3. **Equazione della retta tangente:** \[ y - 2 = 2 (x - 2) \implies y = 2x - 2 \]

L'equazione della retta tangente è **\(y = 2x - 2\)**.

4. **Angolo \(\alpha\) formato con l'asse \(x\):**

Il coefficiente angolare \(m\) della retta tangente è uguale alla tangente goniometrica dell'angolo \(\alpha\) che la retta forma con la direzione positiva dell'asse delle \(x\):

\[ m = \tan(\alpha) \]

Poiché \(m = 2\), abbiamo:

\[ \tan(\alpha) = 2 \]

Per trovare l'angolo in gradi, usiamo la funzione arcotangente (o \( \arctan \)):

\[ \alpha = \arctan(2) \approx 63.43^\circ \]

L'angolo che la tangente forma con l'asse \(x\) è di circa **\(63.43\) gradi**.

Grafico rappresentativo:

Soluzione quesito 5:

Verifica di Continuità in \(x_0 = 1\)

Prima di calcolare le derivate laterali, verifichiamo che la funzione sia continua in \(x_0 = 1\), condizione necessaria per la derivabilità.

Il valore della funzione nel punto è dato dal primo ramo (dove \(x \leq 1\)): \[ f(1) = 1^2 + 2(1) = 3 \]

Il limite sinistro è: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2x) = 1^2 + 2(1) = 3 \]

Il limite destro è: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (-x^2 + 6x - 2) = -(1)^2 + 6(1) - 2 = -1 + 6 - 2 = 3 \]

Poiché \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 3\), la funzione è **continua** in \(x_0 = 1\). Il punto di interesse è \(P(1, 3)\).

Calcolo della Derivata Sinistra \(f'\_(1)\)

Usiamo il limite del rapporto incrementale per \(x \to 1^-\) (ovvero \(h \to 0^-\)), utilizzando il primo ramo \(f(x) = x^2 + 2x\):

\[ f'\_(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} \]

Sostituiamo \(f(1) = 3\) e \(f(1 + h)\) nel primo ramo:

\[ f(1 + h) = (1 + h)^2 + 2(1 + h) = (1 + 2h + h^2) + 2 + 2h = h^2 + 4h + 3 \]

Calcoliamo il rapporto incrementale:

\[ \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{(h^2 + 4h + 3) - 3}{h} = \frac{h^2 + 4h}{h} = h + 4 \]

Calcoliamo il limite:

\[ f'\_(1) = \lim_{h \to 0^-} (h + 4) = 4 \]

La **derivata sinistra** è **\(f'\_(1) = 4\)**.

Calcolo della Derivata Destra \(f'\_+(1)\)

Usiamo il limite del rapporto incrementale per \(x \to 1^+\) (ovvero \(h \to 0^+\)), utilizzando il secondo ramo \(f(x) = -x^2 + 6x - 2\):

\[ f'\_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} \]

Sostituiamo \(f(1) = 3\) e \(f(1 + h)\) nel secondo ramo:

\[ f(1 + h) = -(1 + h)^2 + 6(1 + h) - 2 \] \[ f(1 + h) = -(1 + 2h + h^2) + 6 + 6h - 2 \] \[ f(1 + h) = -1 - 2h - h^2 + 6 + 6h - 2 = -h^2 + 4h + 3 \]

Calcoliamo il rapporto incrementale:

\[ \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{(-h^2 + 4h + 3) - 3}{h} = \frac{-h^2 + 4h}{h} = -h + 4 \]

Calcoliamo il limite:

\[ f'\_+(1) = \lim_{h \to 0^+} (-h + 4) = 4 \]

La **derivata destra** è **\(f'\_+(1) = 4\)**.

Conclusioni sulla Derivabilità e Tangente

Poiché la derivata sinistra è uguale alla derivata destra: \[ f'\_(1) = f'\_+(1) = 4 \]

La funzione è **derivabile** nel punto \(x_0 = 1\).

Il coefficiente angolare della retta tangente è \(m = 4\). L'equazione della retta tangente è data da \(y - f(1) = m(x - 1)\). \[ y - 3 = 4(x - 1) \] \[ y - 3 = 4x - 4 \] \[ y = 4x - 1 \]

L'equazione della retta tangente in \(P(1, 3)\) è **\(y = 4x - 1\)**.

Grafico rappresentativo:

Soluzione quesito 6:

1. Determinazione della Funzione Volume \(V(t)\)

Il volume \(V\) di un cubo è dato dalla formula \(V = s^3\). Sostituendo la legge oraria del lato \(s(t)\) si ottiene la funzione volume in funzione del tempo:

\[ V(t) = [s(t)]^3 = (10 - 0.5t)^3 \]

2. Calcolo della Velocità di Variazione \(V'(10)\)

La velocità di variazione del volume all'istante \(t_0 = 10\) è definita come la derivata \(V'(10)\), ovvero il limite del rapporto incrementale:

\[ V'(10) = \lim_{h \to 0} \frac{V(10 + h) - V(10)}{h} \]

Calcoliamo il valore della funzione in \(t_0 = 10\):

\[ V(10) = (10 - 0.5 \cdot 10)^3 = (10 - 5)^3 = 5^3 = 125 \]

Calcoliamo il valore della funzione in \(t_0 + h\):

\[ V(10 + h) = [10 - 0.5(10 + h)]^3 = [10 - 5 - 0.5h]^3 = (5 - 0.5h)^3 \]

Sviluppiamo \((5 - 0.5h)^3\) con la formula del cubo di binomio \((A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3\):

\[ V(10 + h) = 5^3 - 3(5^2)(0.5h) + 3(5)(0.25h^2) - 0.125h^3 \] \[ V(10 + h) = 125 - 37.5h + 3.75h^2 - 0.125h^3 \]

Calcoliamo il numeratore del rapporto incrementale:

\[ V(10 + h) - V(10) = (125 - 37.5h + 3.75h^2 - 0.125h^3) - 125 \] \[ V(10 + h) - V(10) = -37.5h + 3.75h^2 - 0.125h^3 \]

Dividiamo per \(h\) (ottenendo il rapporto incrementale):

\[ \frac{V(10 + h) - V(10)}{h} = -37.5 + 3.75h - 0.125h^2 \]

Infine, calcoliamo il limite per \(h \to 0\):

\[ V'(10) = \lim_{h \to 0} (-37.5 + 3.75h - 0.125h^2) = -37.5 \]

Conclusione

La **velocità di variazione del volume** al tempo \(t_0 = 10\) minuti è **\(-37.5\) \(cm^3/min\)**.

Questo significa che all'istante \(t=10\) minuti, il volume del cubo sta diminuendo a una velocità di \(37.5\) centimetri cubi al minuto.

Soluzione quesito 7:

1. Riscrivere la Funzione Senza Valore Assoluto in Prossimità di \(x_0 = 2\)

Il valore assoluto dipende dal segno dell'argomento \(g(x) = x^2 - 2x\). Le radici di \(g(x)=0\) sono \(x=0\) e \(x=2\).

Studiamo il segno di \(g(x)\): \[ x^2 - 2x > 0 \implies x(x - 2) > 0 \]

La disequazione è positiva per \(x < 0\) e per \(x > 2\).

In prossimità di \(x_0 = 2\), la funzione si comporta come segue:

• **Per \(x \leq 2\):** L'argomento è negativo o nullo (\(x^2 - 2x \leq 0\)), quindi il valore assoluto cambia il segno: \[ f(x) = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x \]
• **Per \(x > 2\):** L'argomento è positivo (\(x^2 - 2x > 0\)), quindi il valore assoluto non cambia il segno: \[ f(x) = x^2 - 2x \]

Il punto di ascissa \(x_0 = 2\) è un punto di raccordo.

Calcoliamo il valore della funzione nel punto: \(f(2) = |2^2 - 2(2)| = 0\).

2. Calcolo della Derivata Sinistra \(f'\_(2)\)

Per la derivata sinistra (\(h \to 0^-\), ovvero \(x < 2\)), usiamo il ramo **\(f(x) = -x^2 + 2x\)**:

\[ f'\_(2) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} \]

Sostituendo \(f(2)=0\) e \(f(2+h)\) nel ramo sinistro:

\[ f(2 + h) = -(2 + h)^2 + 2(2 + h) \] \[ f(2 + h) = -(4 + 4h + h^2) + 4 + 2h \] \[ f(2 + h) = -4 - 4h - h^2 + 4 + 2h = -h^2 - 2h \]

Calcoliamo il rapporto incrementale:

\[ \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \frac{(-h^2 - 2h) - 0}{h} = \frac{-h^2 - 2h}{h} = -h - 2 \]

Calcoliamo il limite:

\[ f'\_(2) = \lim_{h \to 0^-} (-h - 2) = -2 \]

La **derivata sinistra** è **\(f'\_(2) = -2\)**.

3. Calcolo della Derivata Destra \(f'\_+(2)\)

Per la derivata destra (\(h \to 0^+\), ovvero \(x > 2\)), usiamo il ramo **\(f(x) = x^2 - 2x\)**:

\[ f'\_+(2) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} \]

Sostituendo \(f(2)=0\) e \(f(2+h)\) nel ramo destro:

\[ f(2 + h) = (2 + h)^2 - 2(2 + h) \] \[ f(2 + h) = (4 + 4h + h^2) - 4 - 2h \] \[ f(2 + h) = h^2 + 2h \]

Calcoliamo il rapporto incrementale:

\[ \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \frac{(h^2 + 2h) - 0}{h} = \frac{h^2 + 2h}{h} = h + 2 \]

Calcoliamo il limite:

\[ f'\_+(2) = \lim_{h \to 0^+} (h + 2) = 2 \]

La **derivata destra** è **\(f'\_+(2) = 2\)**.

4. Conclusioni sulla Derivabilità

Poiché la derivata sinistra (\(-2\)) è **diversa** dalla derivata destra (\(2\)): \[ f'\_(2) \ne f'\_+(2) \]

La funzione **non è derivabile** nel punto \(x_0 = 2\).

Il punto \(P(2, 0)\) è un **punto angoloso**, in quanto le due tangenti laterali esistono e hanno coefficienti angolari finiti diversi.

Grafico rappresentativo:

Soluzione quesito 8:

1. Dominio e Valore della Funzione

Il dominio della funzione \(f(x) = \sqrt{x}\) è \(D = [0, +\infty)\). Poiché il dominio include il punto \(x_0 = 0\) e si estende solo alla sua destra, per calcolare la derivata dovremo calcolare solo la **derivata destra**.

Il valore della funzione nel punto è \(f(0) = \sqrt{0} = 0\).

2. Calcolo della Derivata Destra \(f'\_+(0)\)

La derivata destra è definita come il limite del rapporto incrementale per \(h \to 0^+\):

\[ f'\_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \]

Sostituendo i valori della funzione:

\[ f'\_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{0 + h} - \sqrt{0}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h}}{h} \]

Riscriviamo il denominatore come $h = \sqrt{h} \cdot \sqrt{h}$ per semplificare:

\[ f'\_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{h}} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} \]

Calcoliamo il limite:

\[ f'\_+(0) = \frac{1}{\sqrt{0^+}} = \frac{1}{0^+} = +\infty \]

Il limite del rapporto incrementale destro è **\(+\infty\)**.

3. Conclusioni sulla Derivabilità e la Tangente

Poiché il limite del rapporto incrementale in \(x_0 = 0\) è infinito (\(+\infty\)), la funzione **non è derivabile** in quel punto.

Tuttavia, quando il limite del rapporto incrementale tende a \(\pm\infty\), la curva ammette una **retta tangente verticale** nel punto. In questo caso, in \(O(0, 0)\), esiste una **tangente verticale** di equazione \(\mathbf{x = 0}\) (l'asse delle \(y\)), che in questo caso è una **semitangente** perché la funzione è definita solo per \(x \geq 0\).

Il punto \((0, 0)\) è un punto a **tangente verticale**.

Mostriamo, anche se non richiesto, il grafico della funzione: