Questionario - Dominio di una Funzione

Questionario sul Dominio di una Funzione

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Quesito 1

Determinare il dominio della funzione:

\begin{equation} f(x) = \sqrt{\frac{x+2}{4-x^2}} + \ln(x-1) \end{equation}

Soluzione quesito 1:

Per determinare il dominio di questa funzione, dobbiamo imporre le condizioni di esistenza per ciascuna delle sue parti.

Condizione per la radice quadrata: L'argomento della radice deve essere maggiore o uguale a zero.
\begin{equation} \frac{x+2}{4-x^2} \ge 0 \end{equation}
Scomponiamo il denominatore: \((4-x^2) = (2-x)(2+x)\).
\begin{equation} \frac{x+2}{(2-x)(2+x)} \ge 0 \Rightarrow \frac{x+2}{(2-x)(x+2)} \ge 0 \end{equation}
Poiché il termine \((x+2)\) appare sia al numeratore che al denominatore, possiamo semplificarlo, ma dobbiamo tenere presente che il denominatore non può mai essere zero. Quindi \(x \neq -2\) e \(x \neq 2\).

La disequazione diventa \( \frac{1}{2-x} \ge 0 \), con la condizione \(x \neq -2\).

Il numeratore è sempre positivo. Il denominatore \((2-x)\) deve essere positivo, quindi \(2-x > 0 \Rightarrow x < 2\).

In sintesi, la condizione per la radice è \(x < 2\) e \(x \neq -2\).
Condizione per il logaritmo: L'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero.
\begin{equation} x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 \end{equation}

Ora combiniamo le due condizioni in un sistema:

\begin{equation} \begin{cases} x < 2 \quad \text{e} \quad x \neq -2 \\ x > 1 \end{cases} \end{equation}

Rappresentiamo le soluzioni su una retta numerica:

L'intersezione dei due intervalli è \((1, 2)\).

Il dominio della funzione è \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid 1 < x < 2\}\).

In notazione intervallare: \(D = (1, 2)\).

Quesito 2

Trovare il dominio della funzione:

\begin{equation} f(x) = \ln(|x^2 - 4|) \end{equation}

Quesito 3

Determinare il dominio della funzione:

\begin{equation} f(x) = \frac{e^{x^2}}{2\cos(x) - 1} \end{equation}

Quesito 4

Calcolare il dominio della funzione:

\begin{equation} f(x) = \frac{|x-3| - 2}{|x+1| - 4} \end{equation}

Quesito 5

Determinare il dominio della funzione:

\begin{equation} f(x) = \sqrt{\frac{1 - 2\sin(x)}{3}} \end{equation}

Quesito 6

Determinare il dominio della funzione:

\begin{equation} f(x) = \sqrt{x^2-1} + \ln(3-x) \end{equation}

Quesito 7

Trovare il dominio della funzione:

\begin{equation} f(x) = \frac{\sqrt[3]{x-2}}{x^2-5x+6} \end{equation}

Quesito 8

Calcolare il dominio della funzione:

\begin{equation} f(x) = \frac{\ln(x+4)}{|x-1| - 2} \end{equation}

Quesito 9

Determinare il dominio della funzione al variare del parametro reale \(k\):

\begin{equation} f(x) = \sqrt{kx^2 - x + 1} \end{equation}

Soluzione quesito 9:

Per calcolare il dominio, dobbiamo imporre che l'argomento della radice quadrata sia maggiore o uguale a zero:

\begin{equation} kx^2 - x + 1 \ge 0 \end{equation}

Questa è una disequazione di secondo grado, la cui soluzione dipende dal valore di \(k\).

Caso 1: \(k = 0\)

Se \(k=0\), la disequazione diventa: \(-x + 1 \ge 0 \Rightarrow 1 \ge x\). Il dominio è \(D = (-\infty, 1]\).
Caso 2: \(k > 0\)

Il trinomio di secondo grado \(y = kx^2 - x + 1\) ha il coefficiente del termine quadratico positivo. Calcoliamo il discriminante \(\Delta = (-1)^2 - 4(k)(1) = 1 - 4k\).
- Se \(\Delta < 0\) (\(k > 1/4\)): il trinomio è sempre positivo. Il dominio è \(D = \mathbb{R}\).
- Se \(\Delta = 0\) (\(k = 1/4\)): il trinomio ha una sola radice reale. È sempre non negativo. Il dominio è \(D = \mathbb{R}\).
- Se \(\Delta > 0\) (\(0 < k < 1/4\)): il trinomio ha due radici reali distinte, \(x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1-4k}}{2k}\). La disequazione è soddisfatta per i valori esterni alle radici. Il dominio è l'unione dei due intervalli: \(D = (-\infty, \frac{1 - \sqrt{1-4k}}{2k}] \cup [\frac{1 + \sqrt{1-4k}}{2k}, +\infty)\).
Caso 3: \(k < 0\)

Il trinomio ha il coefficiente del termine quadratico negativo. Il discriminante \(\Delta = 1 - 4k\) è sempre positivo. Ci sono sempre due radici reali. La disequazione è soddisfatta per valori compresi tra le radici. Il dominio è \(D = [\frac{1 + \sqrt{1-4k}}{2k}, \frac{1 - \sqrt{1-4k}}{2k}]\).

Riepilogo finale del dominio:

**Se \(k < 0\)**, il dominio è l'intervallo \([\frac{1 + \sqrt{1-4k}}{2k}, \frac{1 - \sqrt{1-4k}}{2k}]\).
**Se \(k = 0\)**, il dominio è \(D = (-\infty, 1]\).
**Se \(0 < k < 1/4\)**, il dominio è \(D = (-\infty, \frac{1 - \sqrt{1-4k}}{2k}] \cup [\frac{1 + \sqrt{1-4k}}{2k}, +\infty)\).
**Se \(k \ge 1/4\)**, il dominio è \(D = \mathbb{R}\).

Quesito 10

Trovare il dominio della funzione al variare del parametro reale \(k\):

\begin{equation} f(x) = \frac{x-1}{\ln(x^2 - k)} \end{equation}

Soluzione quesito 10:

Per trovare il dominio, dobbiamo considerare due condizioni:

Condizione sul logaritmo: L'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero.
\begin{equation} x^2 - k > 0 \Rightarrow x^2 > k \end{equation}
Condizione sulla frazione: Il denominatore non può essere zero.
\begin{equation} \ln(x^2 - k) \neq 0 \end{equation}
Questa condizione si verifica se l'argomento del logaritmo è diverso da 1: \(x^2 - k \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq k+1\).

Analizziamo le soluzioni al variare di \(k\).

Caso 1: \(k = 0\)

Se \(k=0\), la condizione del logaritmo diventa \(x^2 > 0\), il che è sempre vero tranne quando \(x=0\). La condizione del denominatore è \(x^2 \neq 1\), quindi \(x \neq \pm 1\).

Il dominio è l'insieme di tutti i numeri reali, esclusi \(-1\), \(0\) e \(1\).

Il dominio è \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}\).
Caso 2: \(k > 0\)

La condizione \(x^2 > k\) ha soluzione \(x < -\sqrt{k}\) o \(x > \sqrt{k}\). Inoltre, dobbiamo escludere \(x = \pm\sqrt{k+1}\). Poiché \(k+1 > k\), i punti da escludere sono all'esterno dell'intervallo \((-\sqrt{k}, \sqrt{k})\).

Il dominio è \(D = (-\infty, -\sqrt{k}) \cup (\sqrt{k}, +\infty)\) con l'esclusione di \(x = \pm\sqrt{k+1}\).
Caso 3: \(k < 0\)

La condizione \(x^2 > k\) è sempre verificata. Il dominio principale è \(\mathbb{R}\), ma dobbiamo ancora escludere i valori che annullano il denominatore.
- Se \(k < -1\): \(k+1 < 0\), quindi \(x^2 = k+1\) non ha soluzioni reali. Il denominatore non è mai zero. Il dominio è \(D = \mathbb{R}\).
- Se \(k = -1\): \(k+1 = 0\), quindi \(x^2 = 0 \Rightarrow x=0\). Dobbiamo escludere \(x=0\). Il dominio è \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).
- Se \(-1 < k < 0\): \(k+1 > 0\), quindi \(x^2 = k+1\) ha due soluzioni reali, \(x = \pm\sqrt{k+1}\). Dobbiamo escludere questi valori. Il dominio è \(D = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{k+1}, \sqrt{k+1}\}\).

Riepilogo finale del dominio:

Dopo aver analizzato i vari casi, possiamo riassumere il dominio della funzione come segue:

Se \(k < -1\), il dominio è \(D = \mathbb{R}\).
Se \(k = -1\), il dominio è \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).
Se \(-1 < k < 0\), il dominio è \(D = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{k+1}, \sqrt{k+1}\}\).
Se \(k = 0\), il dominio è \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}\).
Se \(k > 0\), il dominio è \(D = (-\infty, -\sqrt{k}) \cup (\sqrt{k}, +\infty)\) con l'esclusione di \(x = \pm\sqrt{k+1}\).