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Secondo Test sulle Funzioni Continue

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1. Classifica la discontinuità della funzione \(f(x) = \frac{\tan x}{x}\) in \(x=0\).

1. La funzione non è definita in \(x=0\). Dobbiamo calcolare il limite in questo punto.
2. Usiamo il limite notevole: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\).
3. Poiché il limite esiste ed è finito (\(=1\)) ma la funzione non è definita nel punto, il punto \(x=0\) è un punto di **discontinuità eliminabile**.
Risposta corretta: C) Discontinuità eliminabile.

2. Per quale valore di \(a\) la funzione \(f(x) = \begin{cases} a x^2 & \text{se } x \le 1 \\ 4x - 2 & \text{se } x > 1 \end{cases}\) è continua in \(x=1\)?

1. Per la continuità in \(x=1\), dobbiamo imporre che il limite sinistro e il limite destro siano uguali.
2. Limite sinistro: \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (a x^2) = a(1)^2 = a\).
3. Limite destro: \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (4x - 2) = 4(1) - 2 = 2\).
4. Uguagliando i limiti: \(a = 2\).
Risposta corretta: A) \(a=2\)

3. La funzione \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^3 - 8}\) in \(x=2\) presenta una discontinuità:

1. Il dominio della funzione esclude \(x=2\) (dove \(x^3 - 8 = 0\)). Dobbiamo calcolare il limite in \(x=2\):
\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^3 - 8}\). Questa è una forma indeterminata \(\frac{0}{0}\).
2. Scomponiamo numeratore (differenza di quadrati) e denominatore (differenza di cubi):
\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\)
\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)\)
3. Calcoliamo il limite semplificato:
\(\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} = \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x^2 + 2x + 4}\)
4. Sostituendo \(x=2\):
\(\frac{2+2}{2^2 + 2(2) + 4} = \frac{4}{4 + 4 + 4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\).
5. Poiché il limite esiste ed è finito (\(=1/3\)) ma la funzione non è definita nel punto, si tratta di una **discontinuità eliminabile**.
Risposta corretta: D) Eliminabile.

4. Quale delle seguenti funzioni **non** è continua sull'intervallo chiuso e limitato \([0, 2]\)?

1. Una funzione è continua su un intervallo \([a, b]\) se è continua in ogni punto dell'intervallo.
2. Le funzioni A), B) e D) sono continue su tutto \(\mathbb{R}\), quindi sono continue su \([0, 2]\).
3. La funzione \(f(x) = \ln(x)\) è definita solo per \(x > 0\). Non è definita in \(x=0\), che è un estremo dell'intervallo \([0, 2]\). Dunque non è continua sull'intervallo **chiuso** \([0, 2]\).
Risposta corretta: C) \(f(x) = \ln(x)\)

5. Il Teorema di Weierstrass è applicabile a \(f(x) = \frac{1}{x}\) sull'intervallo \((0, 1]\)?

1. Le condizioni per il Teorema di Weierstrass sono: **a)** La funzione deve essere continua; **b)** L'intervallo deve essere chiuso e limitato, cioè \([a, b]\).
2. La funzione \(f(x) = \frac{1}{x}\) è continua su \((0, 1]\).
3. Tuttavia, l'intervallo \((0, 1]\) non è chiuso (è aperto in \(x=0\)).
4. Inoltre, \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\), quindi la funzione non è limitata superiormente nell'intervallo. La non validità della condizione **b)** (intervallo chiuso) è sufficiente per non garantire l'applicabilità del teorema.
Risposta corretta: B) No, perché l'intervallo non è chiuso.

6. Se \(f(x)\) è continua su \([a, b]\) e \(f(a)=10, f(b)=2\), allora per il Teorema dei Valori Intermedi, \(f(x)=5\) in almeno un punto in \([a, b]\)?

1. Il **Teorema dei Valori Intermedi** afferma che se una funzione è continua su un intervallo chiuso e limitato \([a, b]\), allora essa assume tutti i valori compresi tra il suo minimo assoluto e il suo massimo assoluto.
2. Poiché la funzione è continua su \([a, b]\), ammette un massimo e un minimo assoluto (Teorema di Weierstrass). Sia \(M\) il massimo e \(m\) il minimo. Tutti i valori compresi tra \(m\) e \(M\) sono assunti dalla funzione.
3. In questo caso, i valori agli estremi sono 2 e 10. Non sappiamo se sono il minimo e il massimo assoluto, ma sappiamo che il minimo è minore o uguale a 2 e il massimo è maggiore o uguale a 10.
4. Dato che \(5\) è compreso tra \(f(b)=2\) e \(f(a)=10\), il teorema garantisce che la funzione debba assumere il valore 5 in almeno un punto dell'intervallo \([a, b]\).
Risposta corretta: A) Sì, perché 5 è compreso tra 2 e 10.

7. Determina il valore di \(b\) per cui \(f(x) = \begin{cases} 3x - b & \text{se } x \le 0 \\ \cos x & \text{se } x > 0 \end{cases}\) è continua in \(x=0\).

1. Per la continuità in \(x=0\), dobbiamo imporre che il limite sinistro e il limite destro siano uguali.
2. Limite sinistro (e valore della funzione): \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 3(0) - b = -b\).
3. Limite destro: \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \cos x = \cos(0) = 1\).
4. Uguagliando i limiti: \(-b = 1\). Risolvendo per \(b\): \(b = -1\).
Risposta corretta: C) \(b=-1\)

8. La funzione \(f(x) = x^4 - 5\) ha almeno una radice reale nell'intervallo \([1, 2]\)?

1. La funzione \(f(x) = x^4 - 5\) è un polinomio ed è quindi continua su tutto \([1, 2]\).
2. Calcoliamo i valori agli estremi:
\(f(1) = 1^4 - 5 = 1 - 5 = -4\). (\(f(1) < 0\))
\(f(2) = 2^4 - 5 = 16 - 5 = 11\). (\(f(2) > 0\))
3. Poiché \(f(1)\) e \(f(2)\) hanno segni opposti, cioè \(f(1)f(2) < 0\), per il **Teorema degli Zeri** esiste almeno una radice \(c \in (1, 2)\). (La radice è \(\sqrt[4]{5} \approx 1.495\)).
Risposta corretta: A) Sì, per il Teorema degli Zeri, perché \(f(1)f(2) < 0\).

9. La funzione \(f(x) = \frac{|x|}{x}\) in \(x=0\) presenta una discontinuità:

1. La funzione può essere riscritta come \(f(x) = \begin{cases} \frac{-x}{x} = -1 & \text{se } x < 0 \\ \frac{x}{x} = 1 & \text{se } x > 0 \end{cases}\). Non è definita in \(x=0\).
2. Calcoliamo i limiti laterali in \(x=0\):
Limite sinistro: \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1\).
Limite destro: \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1\).
3. Poiché entrambi i limiti esistono e sono finiti, ma sono diversi tra loro, si tratta di una **discontinuità di prima specie** (o a salto). Il salto è \(|1 - (-1)| = 2\).
Risposta corretta: B) Di prima specie (salto).

10. Quale delle seguenti funzioni **non** soddisfa le ipotesi del Teorema di Weierstrass sull'intervallo \([1, 4]\)?

1. Il **Teorema di Weierstrass** è applicabile solo se la funzione è **continua** e l'intervallo è **chiuso e limitato**. L'intervallo \([1, 4]\) è chiuso e limitato in tutti i casi. Dobbiamo cercare la funzione che non è continua su questo intervallo.
2. **A) \(f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\):** Il denominatore non si annulla mai. Funzione continua su \(\mathbb{R}\). Ipotesi soddisfatte.
3. **B) \(f(x) = \sqrt{x}\):** Funzione continua per \(x \ge 0\). L'intervallo \([1, 4]\) è contenuto in \([0, +\infty)\). Ipotesi soddisfatte.
4. **D) \(f(x) = \sin(\pi x)\):** Funzione trigonometrica, continua su \(\mathbb{R}\). Ipotesi soddisfatte.
5. **C) \(f(x) = \frac{1}{x - 3}\):** La funzione non è definita in \(x=3\). Poiché \(3 \in [1, 4]\), la funzione non è continua in tutto l'intervallo.
Risposta corretta: C) \(f(x) = \frac{1}{x - 3}\)
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