Matefilia Title Matefilia Logo

Test sulle Funzioni Continue

Risolvi la domanda proposta, seleziona la risposta corretta, premi Verifica tutte le risposte in fondo alla pagina per controllare se la tua risposta è corretta. Premendo Mostra passaggi puoi vedere la soluzione passo-passo. Per rifare il Test premi Ricomincia Test.

1. Classifica i punti di discontinuità della funzione \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - x}\).

1. Il dominio della funzione è \(x^2 - x \neq 0 \Rightarrow x(x-1) \neq 0\), quindi \(x \neq 0\) e \(x \neq 1\).
2. Studiamo il comportamento in \(x=0\):
\(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1}{x^2 - x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1}{x(x-1)} = \frac{-1}{0^-} = +\infty\) (da destra) o \(\frac{-1}{0^+} = -\infty\) (da sinistra). Poiché il limite è infinito, \(x=0\) è un punto di **discontinuità di seconda specie**.
3. Studiamo il comportamento in \(x=1\):
\(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x} = \frac{1+1}{1} = 2\). Poiché il limite esiste ed è finito ma la funzione non è definita in \(x=1\), \(x=1\) è un punto di **discontinuità eliminabile**.
Risposta corretta: A) \(x=0\) discontinuità di seconda specie, \(x=1\) discontinuità eliminabile.

2. Stabilisci se la seguente funzione è continua in \(x=2\):
\(f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{se } x \leq 2 \\ 2x - 1 & \text{se } x > 2 \end{cases}\)

1. Calcoliamo il valore della funzione in \(x=2\): \(f(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3\).
2. Calcoliamo il limite sinistro in \(x=2\):
\(\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 3\).
3. Calcoliamo il limite destro in \(x=2\):
\(\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 1) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3\).
4. Poiché \(f(2) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3\), la funzione è continua in \(x=2\).
Risposta corretta: A) La funzione è continua in \(x=2\).

3. Determina il valore di \(k\) affinché la funzione sia continua in \(x=1\):
\(f(x) = \begin{cases} kx^2 + 3 & \text{se } x \leq 1 \\ 2x + 5 & \text{se } x > 1 \end{cases}\)

1. Per la continuità in \(x=1\), devono essere uguali il valore della funzione, il limite sinistro e il limite destro.
Valore della funzione: \(f(1) = k(1)^2 + 3 = k + 3\).
2. Limite sinistro: \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (kx^2 + 3) = k(1)^2 + 3 = k + 3\).
3. Limite destro: \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x + 5) = 2(1) + 5 = 7\).
4. Per la continuità, dobbiamo imporre \(k + 3 = 7\).
Risolvendo per \(k\): \(k = 7 - 3 = 4\).
Risposta corretta: C) \(k=4\)

4. La funzione \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) ha almeno una radice reale nell'intervallo \([0, 1]\)?

1. Il Teorema degli Zeri afferma che se una funzione \(f(x)\) è continua su un intervallo chiuso e limitato \([a, b]\) e \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segni opposti (cioè \(f(a)f(b) < 0\)), allora esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che \(f(c) = 0\).
2. La funzione \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) è un polinomio, quindi è continua su tutto l'intervallo \([0, 1]\).
3. Calcoliamo i valori della funzione agli estremi dell'intervallo:
\(f(0) = 0^3 - 3(0) + 1 = 1\).
\(f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1\).
4. Poiché \(f(0) = 1\) (positivo) e \(f(1) = -1\) (negativo), \(f(0) \cdot f(1) = 1 \cdot (-1) = -1 < 0\). Le condizioni del Teorema degli Zeri sono soddisfatte.
Risposta corretta: A) Sì, perché \(f(0)f(1) < 0\).

5. Data la funzione \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), il Teorema di Weierstrass garantisce l'esistenza di un massimo e minimo assoluto nell'intervallo \([0, 3]\)?

1. Il Teorema di Weierstrass afferma che se una funzione \(f(x)\) è continua su un intervallo chiuso e limitato \([a, b]\), allora la funzione ammette un massimo assoluto e un minimo assoluto in quell'intervallo.
2. La funzione \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) è un polinomio, quindi è continua su tutto \(\mathbb{R}\) e, in particolare, sull'intervallo \([0, 3]\).
3. L'intervallo \([0, 3]\) è un intervallo chiuso e limitato.
4. Poiché entrambe le condizioni del Teorema di Weierstrass (funzione continua e intervallo chiuso e limitato) sono soddisfatte, il teorema garantisce l'esistenza di un massimo e un minimo assoluto.
Risposta corretta: A) Sì, perché la funzione è continua e l'intervallo è chiuso e limitato.

6. Quale delle seguenti funzioni ha una discontinuità di prima specie con salto uguale a 2 nel punto indicato?

Una funzione ha una **discontinuità di prima specie (o a salto)** in un punto \(x_0\) se esistono finiti i limiti destro e sinistro in \(x_0\), ma sono diversi tra loro. Il salto è dato da \(| \lim_{x \to x_0^+} f(x) - \lim_{x \to x_0^-} f(x) |\).
Analizziamo le opzioni:
**A) \(f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{se } x \leq 0 \\ x-1 & \text{se } x > 0 \end{cases}\) in \(x=0\)**
Calcoliamo i limiti laterali:
\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1) = 0+1 = 1\)
\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x-1) = 0-1 = -1\)
Il salto è \(|(-1) - 1| = |-2| = 2\). **Questa è la risposta corretta.**
**B) \(f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{se } x \leq 1 \\ x+3 & \text{se } x > 1 \end{cases}\) in \(x=1\)**
Calcoliamo i limiti laterali:
\(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x+1) = 2(1)+1 = 3\)
\(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x+3) = 1+3 = 4\)
Il salto è \(|4 - 3| = |1| = 1\).
**C) \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\) in \(x=2\)**
Il dominio della funzione è \(x \neq 2\). Studiamo il limite per \(x \to 2\):
\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4\).
Poiché il limite esiste finito ma la funzione non è definita nel punto, \(x=2\) è un punto di **discontinuità eliminabile**.
**D) \(f(x) = \frac{1}{x}\) in \(x=0\)**
Calcoliamo i limiti laterali:
\(\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\)
\(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\)
Poiché i limiti sono infiniti, questa è una **discontinuità di seconda specie**, non di prima specie.
Risposta corretta: A) \(f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{se } x \leq 0 \\ x-1 & \text{se } x > 0 \end{cases}\) in \(x=0\).

7. La funzione \(f(x) = x^2 - x - 1\) sull'intervallo \([0, 2]\) assume tutti i valori compresi tra \(f(0)\) e \(f(2)\)?

1. Il **Teorema dei valori intermedi** (o Teorema di Darboux-Bolzano per le funzioni continue) afferma che se una funzione \(f(x)\) è continua su un intervallo chiuso e limitato \([a, b]\), allora essa assume tutti i valori compresi tra \(f(a)\) e \(f(b)\) (incluso \(f(a)\) e \(f(b)\)).
2. La funzione data, \(f(x) = x^2 - x - 1\), è un polinomio, quindi è continua su tutto \(\mathbb{R}\). In particolare, è continua sull'intervallo \([0, 2]\).
3. L'intervallo \([0, 2]\) è un intervallo chiuso e limitato.
4. Poiché entrambe le condizioni del Teorema dei valori intermedi sono soddisfatte (funzione continua e intervallo chiuso e limitato), la funzione assumerà tutti i valori compresi tra \(f(0)\) e \(f(2)\).
Calcoliamo \(f(0)\) e \(f(2)\):
\(f(0) = 0^2 - 0 - 1 = -1\)
\(f(2) = 2^2 - 2 - 1 = 4 - 2 - 1 = 1\)
Quindi, la funzione assume tutti i valori nell'intervallo \([-1, 1]\).
Risposta corretta: A) Sì, perché la funzione è continua sull'intervallo chiuso e limitato.

8. La funzione \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\) ha una discontinuità eliminabile in \(x=0\). Qual è il prolungamento continuo di \(f(x)\) in \(x=0\)?

1. Per trovare il prolungamento continuo di una funzione con discontinuità eliminabile in \(x_0\), dobbiamo definire (o ridefinire) il valore della funzione in \(x_0\) come il limite della funzione per \(x \to x_0\).
2. Nel caso della funzione \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\) e del punto \(x=0\), dobbiamo calcolare il limite notevole:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\).
3. Poiché il limite esiste ed è finito (e non è necessario che la funzione sia definita in \(x=0\), infatti non lo è), possiamo definire il prolungamento continuo \(g(x)\) come: \[ g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \neq 0 \\ \lim_{x \to 0} f(x) & \text{se } x = 0 \end{cases} \] Nel nostro caso: \[ g(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{se } x \neq 0 \\ 1 & \text{se } x = 0 \end{cases} \]
Risposta corretta: A) \(g(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{se } x \neq 0 \\ 1 & \text{se } x = 0 \end{cases}\)

9. La funzione di equazione \(f(x) = x \cdot \ln x - 1\) ammette almeno una soluzione nell'intervallo:

Per applicare il **Teorema degli Zeri**, la funzione \(f(x)\) deve essere **continua** sull'intervallo chiuso e limitato \([a, b]\) e i valori \(f(a)\) e \(f(b)\) devono avere **segno opposto** (cioè \(f(a) \cdot f(b) < 0\)).
Il dominio della funzione \(f(x) = x \cdot \ln x - 1\) è \(x > 0\). La funzione è continua nel suo dominio.
Analizziamo le opzioni:
**A) \((0, 1]\)**
L'intervallo non è chiuso a sinistra (è aperto in 0). Inoltre, in \(x \to 0^+\), \(\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0\), quindi \(f(x) \to -1\). In \(x=1\), \(f(1) = 1 \cdot \ln(1) - 1 = 1 \cdot 0 - 1 = -1\). Poiché \(f(x)\) tende a \(-1\) e \(f(1) = -1\), non c'è un cambio di segno che garantisca una soluzione per il teorema degli zeri.
**B) \([e, e^2]\)**
Calcoliamo i valori agli estremi:
\(f(e) = e \cdot \ln e - 1 = e \cdot 1 - 1 = e - 1 \approx 1.718 > 0\).
\(f(e^2) = e^2 \cdot \ln (e^2) - 1 = e^2 \cdot 2 - 1 = 2e^2 - 1 \approx 13.778 > 0\).
Poiché \(f(e)\) e \(f(e^2)\) hanno lo stesso segno (entrambi positivi), il teorema degli zeri non è applicabile per garantire una soluzione in questo intervallo.
**C) \([\frac{1}{2}, 1]\)**
Calcoliamo i valori agli estremi:
\(f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln(\frac{1}{2}) - 1 = \frac{1}{2} \cdot (-\ln 2) - 1 = -\frac{\ln 2}{2} - 1 \approx -\frac{0.693}{2} - 1 = -0.3465 - 1 = -1.3465 < 0\).
\(f(1) = 1 \cdot \ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1\).
Poiché \(f(\frac{1}{2}) < 0\) e \(f(1) = -1\), non c'è un cambio di segno. Il teorema degli zeri non garantisce una soluzione in questo intervallo.
**D) \([\frac{1}{e}, e]\)**
Calcoliamo i valori agli estremi:
\(f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln(\frac{1}{e}) - 1 = \frac{1}{e} \cdot (-1) - 1 = -\frac{1}{e} - 1 \approx -0.368 - 1 = -1.368 < 0\).
\(f(e) = e \cdot \ln e - 1 = e \cdot 1 - 1 = e - 1 \approx 2.718 - 1 = 1.718 > 0\).
Poiché \(f(\frac{1}{e}) < 0\) e \(f(e) > 0\), i valori agli estremi hanno segni opposti. La funzione è continua sull'intervallo \([\frac{1}{e}, e]\) (essendo \(1/e > 0\)). Pertanto, per il Teorema degli Zeri, esiste almeno una soluzione in questo intervallo.
Risposta corretta: D) \([\frac{1}{e}, e]\)

10. Il valore di \(k\) per cui la funzione \(f(x)=\frac{e^x-1}{kx}\) ha in \(x=0\) una discontinuità eliminabile è:

Una funzione ha una **discontinuità eliminabile** in \(x=x_0\) se il limite della funzione per \(x \to x_0\) esiste ed è finito, ma la funzione non è definita in \(x_0\) o il suo valore in \(x_0\) è diverso dal limite.
La funzione data è \(f(x)=\frac{e^x-1}{kx}\). Per definizione, il denominatore \(kx\) non può essere zero, quindi dobbiamo imporre che **\(k \neq 0\)**. Se \(k=0\), la funzione non avrebbe senso.
Consideriamo il limite per \(x \to 0\), dato che vogliamo studiare il comportamento della funzione in questo punto: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{kx}\).
Per risolvere questo limite, possiamo riscriverlo come:
\(\lim_{x \to 0} \frac{1}{k} \cdot \frac{e^x-1}{x}\).
Sappiamo che \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1\) (questo è un **limite notevole**).
Quindi, per ogni \(k \neq 0\), il limite è:
\(\frac{1}{k} \cdot 1 = \frac{1}{k}\).
Poiché questo limite esiste ed è finito per qualsiasi valore di \(k\) diverso da zero, la funzione \(f(x)\) ha una discontinuità eliminabile in \(x=0\) per **ogni \(k \neq 0\)**.
Risposta corretta: C) Qualsiasi \(k \neq 0\)
TORNA A INDICE TEST

Valida questo HTML5