Versione DSA - Test Integrali Definiti Completo

Domanda 1

Calcola l'integrale di 1 fratto radice di x più 2, calcolato tra 2 e 7.

\(\int_{2}^{7}\frac{1}{\sqrt{x+2}}\, dx\)

A) 2 B) 3 C) 2 che moltiplica (radice di 9 meno radice di 4) D) radice di 7 meno radice di 2

Svolgimento completo:
1. Sostituzione: Poniamo \(u = x + 2\), quindi \(du = dx\).
2. Nuovi estremi: Se \(x=2 \rightarrow u=4\). Se \(x=7 \rightarrow u=9\).
3. Integrazione: L'integrale diventa \(\int_{4}^{9} u^{-1/2} du\). La primitiva è \(2\sqrt{u}\).
4. Calcolo: \(2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2(3) - 2(2) = 6 - 4 = 2\).

Domanda 2

Calcola l'integrale di 4x fratto 1 più x alla seconda, calcolato tra 0 e 2.

\(\int_{0}^{2}\frac{4x}{1+x^2}\, dx\)

A) 2 per logaritmo naturale di 5 B) logaritmo naturale di 4 C) 4 D) 4 per logaritmo naturale di 2

Svolgimento completo:
1. Analisi: Notiamo che la derivata del denominatore \((1+x^2)\) è \(2x\).
2. Riscrittura: Portiamo fuori un 2: \(2 \int_{0}^{2} \frac{2x}{1+x^2} dx\).
3. Primitiva: È un logaritmo: \(2 [\ln(1+x^2)]_{0}^{2}\).
4. Calcolo: \(2(\ln(1+4) - \ln(1+0)) = 2(\ln 5 - 0) = 2 \ln 5\).

Domanda 3

Calcola l'integrale di 3 fratto x alla seconda più 6x più 9, calcolato tra 0 e 1.

\(\int_{0}^{1}\frac{3}{x^2+6x+9}\, dx\)

A) 1 B) 1 fratto 4 C) 1 fratto 2 D) logaritmo naturale di 2

Svolgimento completo:
1. Semplificazione: Il denominatore è il quadrato di \((x+3)\).
2. Primitiva: L'integrale di \(3(x+3)^{-2}\) è \(3 \frac{(x+3)^{-1}}{-1} = -\frac{3}{x+3}\).
3. Calcolo: \([-\frac{3}{1+3}] - [-\frac{3}{0+3}] = -\frac{3}{4} - (-1) = 1 - 0.75 = 1/4\).

Domanda 4

Calcola l'integrale del logaritmo naturale di x, calcolato tra 1 ed e.

\(\int_{1}^{e}\ln x\, dx\)

A) 0 B) e C) e meno 2 D) 1

Svolgimento completo:
1. Metodo: Integrazione per parti. Poniamo \(u = \ln x\) e \(dv = 1\).
2. Formula: \(uv - \int v du \rightarrow x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx\).
3. Primitiva: \(x \ln x - x\).
4. Calcolo: \((e \ln e - e) - (1 \ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1\).

Domanda 5

Calcola l'integrale di x per e alla x, calcolato tra 0 e 1.

\(\int_{0}^{1}xe^x\, dx\)

A) 1 B) e meno 1 C) e D) 0

Svolgimento completo:
1. Metodo: Integrazione per parti. \(u = x\) (fattore finito), \(dv = e^x\) (fattore differenziale).
2. Primitiva: \(xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x = e^x(x-1)\).
3. Calcolo: \(e^1(1-1) - e^0(0-1) = 0 - (1 \cdot -1) = 1\).

Domanda 6

Calcola l'integrale di x per seno di x, calcolato tra 0 e pi greco mezzi.

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\, dx\)

A) pi greco mezzi B) 0 C) 1 D) pi greco quarti

Svolgimento completo:
1. Metodo: Per parti. \(u = x, dv = \sin x dx \rightarrow v = -\cos x\).
2. Primitiva: \(-x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x\).
3. Calcolo: \((-\frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2}) - (0 + \sin 0) = (0 + 1) - 0 = 1\).

Domanda 7

Calcola l'integrale di logaritmo naturale di x fratto x, calcolato tra 1 ed e.

\(\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}\, dx\)

A) 1 fratto e B) 1 fratto 2 C) 1 D) e alla seconda

Svolgimento completo:
1. Analisi: È la forma \(\int f(x) \cdot f'(x) dx\).
2. Primitiva: \(\frac{[\ln x]^2}{2}\).
3. Calcolo: \(\frac{[\ln e]^2}{2} - \frac{[\ln 1]^2}{2} = \frac{1^2}{2} - 0 = 1/2\).

Domanda 8

Calcola l'integrale della tangente al quadrato di x, calcolato tra 0 e pi greco quarti.

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^2 x\, dx\)

A) pi greco quarti B) 1 C) logaritmo naturale di 2 D) 1 meno pi greco quarti

Svolgimento completo:
1. Trucco: Usiamo \(\tan^2 x = (1 + \tan^2 x) - 1\).
2. Primitiva: Sappiamo che l'integrale di \((1+\tan^2 x)\) è \(\tan x\). Quindi: \(\tan x - x\).
3. Calcolo: \((\tan \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) - (\tan 0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{4}\).

Domanda 9

Calcola l'integrale di seno al quadrato per coseno al cubo, calcolato tra 0 e pi greco mezzi.

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x \cos^3 x\, dx\)

A) 2 fratto 15 B) 1 fratto 5 C) pi greco quarti D) 1

Svolgimento completo:
1. Sostituzione: Poniamo \(t = \sin x\), quindi \(dt = \cos x dx\).
2. Trasformazione: \(\cos^2 x = 1 - t^2\). L'integrale diventa \(\int_{0}^{1} t^2(1-t^2) dt\).
3. Primitiva: \(\int (t^2 - t^4) dt = [\frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5}]\).
4. Calcolo: \(1/3 - 1/5 = (5-3)/15 = 2/15\).

Domanda 10

Calcola l'integrale di x più 3 fratto x alla seconda più 4x più 5, calcolato tra meno 1 e 0.

\(\int_{-1}^{0}\frac{x+3}{x^2+4x+5}\, dx\)

A) pi greco mezzi B) logaritmo naturale di 2 C) 1/2 log di 5/2 + arcotangente di 2 - pi greco quarti D) e

Svolgimento completo:
1. Scomposizione: Scriviamo il numeratore come \(\frac{1}{2}(2x+4) + 1\).
2. Integrazione: Otteniamo due integrali: uno è \(\frac{1}{2} \ln(x^2+4x+5)\), l'altro è l'arcotangente di \((x+2)\).
3. Calcolo: Sostituendo gli estremi si arriva alla soluzione C.

Test sugli integrali definiti (Versione DSA)