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Secondo Test sui Limiti Notevoli (Livello Avanzato)

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1. \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{e^{x^2} - 1}\)

1. Riscriviamo il limite moltiplicando e dividendo per \(x^2\):
\[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{x^2}{e^{x^2} - 1}\]
2. Applichiamo i limiti notevoli \(\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \frac{1}{2}\) e \(\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1\) (dove \(t=x^2\) nel secondo caso):
\[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}\]
Risposta corretta: B) \(\frac{1}{2}\)

2. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x^2)}{\tan^2(x)}\)

1. Riscriviamo moltiplicando e dividendo per \(x^2\):
\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x^2)}{4x^2} \cdot \frac{4x^2}{x^2} \cdot \frac{x^2}{\tan^2(x)}\]
2. Applichiamo i limiti notevoli \(\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1\) (dove \(t=4x^2\)) e \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1\):
\[1 \cdot 4 \cdot 1 = 4\]
Risposta corretta: B) 4

3. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}\)

1. Riscriviamo \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) e raccogliamo \(\sin x\):
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \frac{1}{\cos x})}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\cos x - 1}{\cos x \cdot x^2}\]
2. Applichiamo i limiti notevoli \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) e \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\):
\[\lim_{x \to 0} 1 \cdot \frac{-(1 - \cos x)}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{1} = -\frac{1}{2}\]
Risposta corretta: B) \(-\frac{1}{2}\)

4. \(\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{\sqrt{1 + x} - 1}\)

1. Riscriviamo il limite moltiplicando e dividendo per \(x\):
\[\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{1 + x} - 1}\]
2. Applichiamo i limiti notevoli \(\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a\) e \(\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \alpha\) (con \(\alpha=1/2\)):
\[\ln 2 \cdot \frac{1}{1/2} = 2 \ln 2\]
Risposta corretta: C) \(2 \ln 2\)

5. \(\lim_{x \to +\infty} x \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right)\)

1. Razionalizziamo l'espressione tra parentesi:
\[x \cdot \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = x \cdot \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\]
2. Raccogliamo \(x\) al denominatore (poiché \(x \to +\infty\), \(\sqrt{x^2}=x\)):
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 1\right)}\]
3. Semplifichiamo e calcoliamo il limite:
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2}\]
Risposta corretta: B) \(\frac{1}{2}\)

6. \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(\sqrt{x})}{x}\)

1. Usiamo il limite notevole \(\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \frac{1}{2}\). Nel nostro caso, \(t=\sqrt{x}\), quindi \(t^2=x\):
\[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(\sqrt{x})}{(\sqrt{x})^2}\]
2. Poniamo \(y = \sqrt{x}\). Se \(x \to 0\), allora \(y \to 0\). Il limite diventa:
\[\lim_{y \to 0} \frac{1 - \cos y}{y^2} = \frac{1}{2}\]
Risposta corretta: A) \(\frac{1}{2}\)

7. \(\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{2x} \right)^{3x}\)

1. Usiamo il limite notevole per il numero di Nepero \(\lim_{t \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^t = e\). Riscriviamo l'esponente per ottenere \(2x\):
\[\lim_{x \to +\infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{2x} \right)^{2x} \right]^{\frac{1}{2x} \cdot 3x}\]
2. Semplifichiamo l'esponente esterno e applichiamo il limite notevole, notando che \(t=2x \to \infty\) per \(x \to \infty\):
\[\lim_{x \to +\infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{2x} \right)^{2x} \right]^{\frac{3}{2}} = e^{3/2}\]
Risposta corretta: A) \(e^{3/2}\)

8. \(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x)}{e^{2x} - 1}\)

1. Riscriviamo il limite moltiplicando e dividendo per \(x\):
\[\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x)}{x} \cdot \frac{x}{e^{2x} - 1}\]
2. **Concentriamoci sul primo fattore:** Il limite notevole \(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1\) si dimostra ponendo \(t = \arcsin x\) (da cui \(x = \sin t\)). Il limite diventa \(\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t}\), che è l'inverso del limite notevole del seno, quindi vale 1.
**Concentriamoci sul secondo fattore:** Moltiplichiamo e dividiamo per 2:
\[\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x)}{x} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{e^{2x} - 1}\]
3. Applichiamo i limiti notevoli \(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1\) e \(\lim_{t \to 0} \frac{t}{e^t - 1} = 1\) (dove \(t=2x\)):
\[1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}\]
Risposta corretta: C) \(\frac{1}{2}\)

9. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2}\)

1. Usiamo l'identità \(\cos x = 1 + (\cos x - 1)\) e il limite notevole \(\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1\). Poniamo \(t = \cos x - 1\) (notiamo che \(t \to 0\) per \(x \to 0\)):
\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + (\cos x - 1))}{\cos x - 1} \cdot \frac{\cos x - 1}{x^2}\]
2. Applichiamo il limite notevole per il logaritmo e \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\):
\[1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\]
Risposta corretta: B) \(-\frac{1}{2}\)

10. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + \sin x} - 1}{x}\)

1. Usiamo il limite notevole \(\lim_{t \to 0} \frac{(1 + t)^\alpha - 1}{t} = \alpha\). Poniamo \(t=\sin x\) e \(\alpha=1/3\):
\[\lim_{x \to 0} \frac{(1 + \sin x)^{1/3} - 1}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x}\]
2. Applichiamo il limite notevole della potenza e \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\):
\[\frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}\]
Risposta corretta: B) \(\frac{1}{3}\)
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