Soluzione Problema 1:

1. Determinazione del Punto \( A \) e della Retta Tangente \( r \)

Il punto \( A \) ha ascissa \( x_A = 3 \). La sua ordinata è:

\[ y_A = (3)^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 \]

Quindi il punto di tangenza è \( A = (3, 0) \).

La generica retta passante per \( A(3, 0) \) ha equazione \( y - 0 = m(x - 3) \), ovvero: \( y = mx - 3m \).

Mettiamo a sistema l'equazione della retta con quella della parabola e imponiamo la condizione di tangenza (\(\mathbf{\Delta = 0}\)):

\[ x^2 + (-4 - m)x + (3 + 3m) = 0 \]

Imponendo \(\Delta = 0\), si ottiene l'equazione \( m^2 - 4m + 4 = 0 \), che risolta fornisce il coefficiente angolare:

\[ \mathbf{m = 2} \]

L'equazione della retta tangente \( r \) è quindi \( y = 2(x - 3) \), ovvero \( y = 2x - 6 \), che in forma implicita è:

\[ \mathbf{2x - y - 6 = 0} \]

2. Espressione delle Distanze \( PH \) e \( PK \)

Sia \( P(x, y) \) un punto sulla parabola, quindi \( y = x^2 - 4x + 3 \).

• **Distanza \( PH \):** \( PH \) è la distanza di \( P \) dall'asse \( x \) (\( y = 0 \)): \[ \mathbf{PH = x^2 - 4x + 3} \quad (\text{poiché } x > 3 \implies y > 0) \]
• **Distanza \( PK \):** \( PK \) è la distanza di \( P \) dalla retta \( r \): \( 2x - y - 6 = 0 \). Usando la formula punto-retta e sostituendo \( y_P \): \[ PK = \frac{|2x - (x^2 - 4x + 3) - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-x^2 + 6x - 9|}{\sqrt{5}} = \frac{\mathbf{(x-3)^2}}{\sqrt{5}} \]

3. Calcolo del Limite

Ricordando che \( x>0 \), il limite richiesto è:

\[ L = \lim_{x \to 3^+} \frac{PH}{PK} = \lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{5} (x^2 - 4x + 3)}{(x-3)^2} \]

Scomponendo il numeratore \( x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) \) (forma indeterminata \(\frac{0}{0}\)):

\[ L = \lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{5} (x-1)(x-3)}{(x-3)^2} = \lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{5} (x-1)}{x-3} \]

4. Risultato e Conclusione

Il numeratore tende a \(\sqrt{5} (3-1) = 2\sqrt{5}\). Poiché \( x \to 3^+ \), il denominatore \( (x-3) \) tende a \( 0^+ \):

\[ L = \frac{2\sqrt{5}}{0^+} = +\infty \]

Il limite finale è: \( \mathbf{L = +\infty} \)

Soluzione Problema 2:

1. Analisi Geometrica e Angoli

Figura

Sia \( r = \overline{OA} = \overline{OP} = 1 \) il raggio della semicirconferenza. L'angolo al centro è \( P\hat{O}A = t \).

Poiché la retta \( PQ \) è tangente alla circonferenza nel punto \( P \), il raggio \( OP \) è **perpendicolare** alla tangente \( PQ \). Dunque, il triangolo \( O\hat{P}Q \) è un triangolo **rettangolo in \( P \)**.

2. Espressione delle Lunghezze in funzione di \( t \)

A) Area del triangolo \( P\hat{O}A \):

L'area di un triangolo può essere calcolata come: \( \text{Area} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) \).

Nel triangolo \( P\hat{O}A \), abbiamo due lati noti (\( \overline{OP} = 1 \), \( \overline{OA} = 1 \)) e l'angolo compreso \( P\hat{O}A = t \):

\[ \text{Area}(P\hat{O}A) = \frac{1}{2} \cdot \overline{OP} \cdot \overline{OA} \cdot \sin(t) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(t) = \mathbf{\frac{1}{2} \sin t} \]

B) Calcolo di \( \overline{PQ} \):

Consideriamo il triangolo rettangolo \( O\hat{P}Q \). Il lato \( \overline{OP} = 1 \) è il cateto adiacente all'angolo \( t = P\hat{O}Q \). Il lato \( \overline{PQ} \) è il cateto opposto all'angolo \( t \).

Nel triangolo rettangolo, vale la relazione trigonometrica:

\[ \overline{PQ} = \overline{OP} \cdot \tan(P\hat{O}Q) = 1 \cdot \tan(t) \]

Quindi:

\[ \overline{PQ} = \mathbf{\tan t} \]

Elevando al quadrato, otteniamo:

\[ \mathbf{\overline{PQ}^2 = \tan^2 t} \]

3. Calcolo del Limite Finale

Il limite richiesto è la sostituzione delle espressioni trovate. Quando \( P \to A \), l'angolo \( t = P\hat{O}A \) tende a \( 0 \).

\[ L = \lim_{P \to A} \frac{\overline{PQ}^2}{\text{Area}(P\hat{O}A)} = \lim_{t \to 0} \frac{\tan^2 t}{\frac{1}{2} \sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{2 \tan^2 t}{\sin t} \]

Il limite si presenta nella forma indeterminata \( \frac{0}{0} \).

Riscriviamo l'espressione in termini di seno e coseno:

\[ L = \lim_{t \to 0} 2 \cdot \frac{\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}}{\sin t} = \lim_{t \to 0} 2 \cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t \sin t} \]

Semplificando \( \sin t \) (poiché \( t \to 0 \) ma \( t \ne 0 \)):

\[ L = \lim_{t \to 0} 2 \cdot \frac{\sin t}{\cos^2 t} \]

Sostituendo il valore del limite (\( \sin 0 = 0 \) e \( \cos 0 = 1 \)):

\[ L = 2 \cdot \frac{0}{1^2} = \mathbf{0} \]

Il limite finale è: \( \mathbf{L = 0} \)

Soluzione Problema 3:

Figura

1. Coordinate di \( A_m \), \( B_m \) e \( M_m \)

I punti di intersezione \( A_m \) e \( B_m \) si ottengono risolvendo l'equazione risolvente del sistema:

\[ x^2 - mx + 1 = 0 \]

Affinché le intersezioni siano due punti distinti, deve essere \(\Delta = m^2 - 4 > 0\), quindi \(\mathbf{m > 2}\).

L'ascissa del punto medio \(M_m\) (usando le formule di Viète) è:

\[ x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-(-m)}{2} = \frac{m}{2} \]

L'ordinata \(y_M\) si ottiene sostituendo \(x_M\) nell'equazione della retta \(r_m\):

\[ y_M = m x_M - 1 = m\left(\frac{m}{2}\right) - 1 = \frac{m^2 - 2}{2} \]

Le coordinate del punto medio sono:

\[ \mathbf{M_m = \left(\frac{m}{2}, \frac{m^2 - 2}{2}\right)} \]

2. Equazione della retta \( OM_m \)

La retta \( OM_m \) passa per l'origine \( O(0, 0) \). Il suo coefficiente angolare \( k_m \) è:

\[ k_m = \frac{y_M}{x_M} = \frac{\frac{m^2 - 2}{2}}{\frac{m}{2}} = \frac{m^2 - 2}{m} \]

L'equazione della retta \(OM_m\) è:

\[ \mathbf{y = \frac{m^2 - 2}{m} x} \]

3. Calcolo del Limite \( L \)

La condizione "quando la retta secante \(A_m B_m\) tende a diventare tangente alla parabola" si verifica quando il discriminante tende a zero, ovvero per \(m \to 2\). Poiché il problema richiede \(m>2\) per avere la secante, il limite è per **\(m \to 2^+\)**.

L'angolo \(x_m\) ha come tangente il coefficiente angolare \(k_m\): \(\tan x_m = \frac{m^2 - 2}{m}\).

Il limite da calcolare è:

\[ L=\lim_{m\to 2^+}\frac{\tan x_m}{m} \]

Sostituendo l'espressione di \(\tan x_m\):

\[ L = \lim_{m\to 2^+}\frac{\frac{m^2 - 2}{m}}{m} = \lim_{m\to 2^+}\frac{m^2 - 2}{m^2} \]

Poiché il denominatore \(m^2\) non tende a zero, possiamo sostituire direttamente \(m=2\):

\[ L = \frac{(2)^2 - 2}{(2)^2} = \frac{4 - 2}{4} = \frac{2}{4} = \mathbf{\frac{1}{2}} \]

Il limite finale è: \(\mathbf{L = \frac{1}{2}}\)

Soluzione Problema 4:

a) Studio Qualitativo per \( x > 0 \)

Dimostrazione della Stretta Decrescenza (Definizione)

La funzione è \( f(x) = e^{\frac{1}{x}} \).

Siano \( x_1, x_2 \in (0, +\infty) \) due valori tali che \( x_1 < x_2 \).

Poiché entrambi i valori sono positivi, la funzione \( g(x) = \frac{1}{x} \) (reciproco) è strettamente decrescente per \( x > 0 \). Dunque:

\[ x_1 < x_2 \implies \frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2} \]

Poiché la funzione esponenziale \( h(z) = e^z \) è strettamente crescente, applicandola all'esponente si mantiene la disuguaglianza:

\[ e^{\frac{1}{x_1}} > e^{\frac{1}{x_2}} \]

Ossia, \( f(x_1) > f(x_2) \). Per definizione, la funzione \( f(x) \) è **strettamente decrescente** per \( x > 0 \).

Analisi della Funzione

• **Dominio:** Per il requisito \( x > 0 \), il dominio è \(\mathbf{D = (0, +\infty)}\).
• **Intersezioni/Segno:** La funzione è esponenziale, quindi \(\mathbf{f(x) > 0}\) sempre. Non interseca gli assi.
• **Asintoti:**
  • **Asintoto Orizzontale (per \( x \to +\infty \)):** \[ \lim_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1 \] La retta \(\mathbf{y = 1}\) è l'asintoto orizzontale.
  • **Asintoto Verticale (per \( x \to 0^+ \)):** \[ \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = e^{+\infty} = +\infty \] La retta \(\mathbf{x = 0}\) (l'asse \( y \)) è l'asintoto verticale.

Il grafico qualitativo mostra una curva strettamente decrescente che tende a \( +\infty \) per \( x \to 0^+ \) e asintoticamente a \( y=1 \) per \( x \to +\infty \).

Il grafico qualitativo della funzione è indicato nella figura seguente, insieme ai segmenti PH e PK e all'asintoto orizzontale

b) Definizione Geometrica delle Distanze

Il punto \( P \) ha coordinate \( \mathbf{P(t, e^{1/t})} \), con \( t > 0 \).

L'asintoto orizzontale è \( y = 1 \). L'asse \( y \) è \( x = 0 \).

• **Distanza \( \overline{PH} \):** \( H \) è la proiezione sull'asintoto \( y = 1 \). \[ \overline{PH} = y_P - 1 = \mathbf{e^{\frac{1}{t}} - 1} \]
• **Distanza \( \overline{PK} \):** \( K \) è la proiezione sull'asse \( y \). \[ \overline{PK} = x_P = \mathbf{t} \]

c) Calcolo del Limite \( L \) per \( t \to +\infty \)

Il limite richiesto è il prodotto delle distanze:

\[ L = \lim_{t \to +\infty} (\overline{PH} \cdot \overline{PK}) = \lim_{t \to +\infty} \left( (e^{\frac{1}{t}} - 1) \cdot t \right) \]

Sostituendo il valore a cui tende \( t \), otteniamo la forma indeterminata \( 0 \cdot \infty \). Riscriviamo il prodotto come un quoziente:

\[ L = \lim_{t \to +\infty} \frac{e^{\frac{1}{t}} - 1}{\frac{1}{t}} \]

Ponendo la sostituzione \( z = \frac{1}{t} \). Se \( t \to +\infty \), allora \( z \to 0^+ \). Il limite si trasforma nel **limite notevole fondamentale**:

\[ L = \lim_{z \to 0^+} \frac{e^z - 1}{z} = \mathbf{1} \]

Il limite finale è: \(\mathbf{L = 1}\)

Soluzione Problema 5: Calcolo del Limite

1. Analisi Geometrica e Definizione delle Distanze in funzione di \( x \)

Senza ledere la generalità, possiamo fissare un sistema di riferimento con centro in \( O(0, 0) \) e la semiretta \( s \) sull'asse \( x \) positivo. Il raggio è \( r = 1 \).

La figura rappresentativa del Problema è la seguente :

• **Coordinate dei punti:** \( O=(0, 0) \), \( Q=(1, 0) \). Poiché \( \overline{PQ} = x \), si ha \( \overline{OP} = \overline{OQ} + \overline{QP} = 1 + x \), quindi \( P=(1+x, 0) \).
• **Simmetria:** Per la simmetria della figura rispetto alla retta \( s \), i segmenti di corda sono uguali: \( \overline{AQ} = \overline{QB} \). Il numeratore è quindi \( 2\overline{AQ} \).

A) Calcolo della lunghezza \( \overline{AQ} \)

Il punto \( A \) di tangenza ha coordinate \( A = (r \cos\alpha, r \sin\alpha) \), dove \( \alpha = A\hat{O}P \) è l'angolo che il raggio \( OA \) forma con l'asse \( x \). Nel triangolo rettangolo \( P\hat{A}O \) (retto in \( A \)) si ha:

\[ \cos\alpha = \frac{\overline{OA}}{\overline{OP}} = \frac{1}{1+x} \]

Usiamo la formula della distanza al quadrato tra \( A \) e \( Q=(1, 0) \):

\[ \overline{AQ}^2 = (\cos\alpha - 1)^2 + (\sin\alpha - 0)^2 = \cos^2\alpha - 2\cos\alpha + 1 + \sin^2\alpha = 2 - 2\cos\alpha \] \[ \overline{AQ}^2 = 2\left(1 - \frac{1}{1+x}\right) = 2\left(\frac{1+x-1}{1+x}\right) = \frac{2x}{1+x} \] \[ \overline{AQ} = \mathbf{\sqrt{\frac{2x}{x+1}}} \]

B) Calcolo della lunghezza \( \overline{AB} \)

La lunghezza della corda \( \overline{AB} \) è \( 2\overline{AH} \), dove \( \overline{AH} \) è l'altezza del triangolo rettangolo \( O\hat{A}P \) relativa all'ipotenusa \( \overline{OP} \). Alternativamente, \(\overline{AB} = 2 \overline{OA} \sin\alpha = 2 \sin\alpha \).

\[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{1+x}\right)^2 = \frac{(1+x)^2 - 1}{(1+x)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(1+x)^2} \] \[ \overline{AB} = 2 \sqrt{\frac{x^2 + 2x}{(1+x)^2}} = \mathbf{\frac{2 \sqrt{x^2 + 2x}}{x+1}} \]

C) Espressione del Rapporto \( k(x) \)

Il rapporto è \( k(x) = \frac{\overline{AQ} + \overline{QB}}{\overline{AB}} = \frac{2\overline{AQ}}{\overline{AB}} \):

\[ k(x) = \frac{2\sqrt{\frac{2x}{x+1}}}{\frac{2 \sqrt{x^2 + 2x}}{x+1}} = \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x+1}} \cdot \frac{x+1}{\sqrt{x(x+2)}} \]

Semplificando \( \sqrt{x} \) e \( \sqrt{x+1} \):

\[ k(x) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2}} = \mathbf{\sqrt{\frac{2(x+1)}{x+2}}} \]

2. Calcolo del Limite \( L \) per \( x \to +\infty \)

Il limite richiesto è:

\[ L = \lim_{x \to +\infty} k(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{2x+2}{x+2}} \]

Il limite è dato dal rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo sotto radice:

\[ L = \sqrt{\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x}} = \sqrt{2} \]

Il limite finale è: \(\mathbf{L = \sqrt{2}}\)

Soluzione Problema 6

1. Analisi Geometrica e Definizione della Funzione \( y = f(x) \)

La figura rappresentativa del Problema è la seguente :

Il triangolo \(\text{ABD}\) è rettangolo in \(D\) (angolo alla circonferenza che insiste sul diametro). Sia \( x = \text{BAE} \). Poiché \(\overline{AE}\) è la bisettrice di \(\text{DAB}\), l'angolo completo è \(\text{DAB} = 2x\). Il dominio geometrico è \( 0 < x < \frac{\pi}{4} \).

Metodo 1: Teorema della Bisettrice (Metodo Standard)

Applicando il **Teorema della bisettrice interna** al triangolo \(\text{ABD}\), la bisettrice \(\overline{AE}\) divide il lato \(\overline{BD}\) in segmenti proporzionali agli altri due lati \(\overline{AB}\) e \(\overline{AD}\): \[ \frac{\overline{BE}}{\overline{ED}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} \]

Utilizzando la proprietà del comporre (\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} \)), possiamo esprimere direttamente il rapporto \( y \):

\[ y = \frac{\overline{BE}}{\overline{BD}} = \frac{\overline{BE}}{\overline{BE} + \overline{ED}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{AB} + \overline{AD}} \]

Ora, esprimiamo \(\overline{AD}\) in funzione di \( r \) e \( x \). Nel triangolo rettangolo \(\text{ABD}\) con ipotenusa \(\overline{AB} = 2r\):

\[ \overline{AD} = \overline{AB} \cos(\text{DAB}) = 2r \cos(2x) \]

Sostituendo \(\overline{AB} = 2r\) e \(\overline{AD} = 2r \cos(2x)\) nell'espressione per \( y \):

\[ y = f(x) = \frac{2r}{2r + 2r \cos(2x)} = \frac{2r}{2r (1 + \cos(2x))} \]

Semplificando \( 2r \):

\[ y = f(x) = \mathbf{\frac{1}{1 + \cos(2x)}} \]

***

Metodo 2: Triangoli Rettangoli e Somma di Segmenti (Metodo Alternativo)

Il rapporto è \( y = \frac{\overline{BE}}{\overline{BD}} \). Si calcolano \(\overline{ED}\) e \(\overline{BD}\) separatamente per trovare \(\overline{BE} = \overline{BD} - \overline{ED} \).

1. **Calcolo di \(\overline{AD}\):** Nel triangolo rettangolo \(\text{ABD}\): \(\overline{AD} = 2r \cos(2x)\).
2. **Calcolo di \(\overline{ED}\):** Nel triangolo rettangolo \(\text{ADE}\), con \(\text{DAE} = x\): \[ \overline{ED} = \overline{AD} \tan(x) = 2r \cos(2x) \tan(x) \]
3. **Calcolo di \(\overline{BD}\):** Nel triangolo rettangolo \(\text{ABD}\): \[ \overline{BD} = \overline{AB} \sin(2x) = 2r \sin(2x) \]
4. **Calcolo del Rapporto \( y \):** \[ y = \frac{\overline{BD} - \overline{ED}}{\overline{BD}} = 1 - \frac{\overline{ED}}{\overline{BD}} = 1 - \frac{2r \cos(2x) \tan(x)}{2r \sin(2x)} \]

   Semplificando e usando le formule trigonometriche (\(\tan x = \sin x / \cos x\), \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)):

   \[ y = 1 - \frac{\cos(2x) \frac{\sin x}{\cos x}}{2 \sin x \cos x} = 1 - \frac{\cos(2x)}{2 \cos^2 x} \]

   Usando l'identità \( \cos(2x) = 2 \cos^2 x - 1 \):

   \[ y = 1 - \frac{2 \cos^2 x - 1}{2 \cos^2 x} = 1 - \left(1 - \frac{1}{2 \cos^2 x}\right) = \frac{1}{2 \cos^2 x} \]

   Infine, usando \( 2 \cos^2 x = 1 + \cos(2x) \):

   \[ y = \mathbf{\frac{1}{1 + \cos(2x)}} \]

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2. Calcolo del Limite per \( x \to 0^+ \)

Il limite del rapporto per \( x \to 0^+ \) è lo stesso per entrambi i metodi:

\[ L = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1 + \cos(2x)} \]

Per sostituzione diretta:

\[ L = \frac{1}{1 + \cos(0)} = \frac{1}{1 + 1} = \mathbf{\frac{1}{2}} \]

Soluzione Problema 7

La figura rappresentativa del Problema è la seguente :

1. Calcolo del Limite Geometrico

a) **Lunghezza di \(\overline{AB}\):** È costante. \[ \overline{AB} = \sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8} = \mathbf{2\sqrt{2}} \]

b) **Lunghezza di \(\overline{OP}\):** \(\overline{OP}\) è l'altezza relativa al lato \(\overline{AC}\) nel triangolo \(\text{OAC}\) (retto in \(O\)). \[ \overline{OP} = \frac{\overline{OA} \cdot \overline{OC}}{\overline{AC}} = \frac{2 \cdot x}{\sqrt{x^2 + 2^2}} = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}} \]

c) **Calcolo del Limite \( L \):**

\[ L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\overline{OP}}{\overline{AB}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}}}{2\sqrt{2}} \] \[ L = \frac{1}{\sqrt{2}} \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{4}{x^2})}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} \]

Semplificando \( x \) e valutando il limite:

\[ L = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

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2. Luogo Geometrico del Centro della Circonferenza

Il centro della circonferenza appartiene all'asse della corde AB (l'asse di una corda di una circonferenza passano per il centro della circonferenza stessa).

**Asse di \(AB \):** Il punto medio è \( M_{AB} = (1, 1) \). L'asse ha pendenza \( 1 \), essendo perpendicolare alla retta \( AB \) che ha coefficiente angolare \(-1 \). L'asse di \( AB \) è la retta: \[ y = x \]

**Il Luogo Geometrico descritto dal centro della circonferenza al variare di \(C\):**

L'equazione del luogo è:

\[ y = x \] Poiché la condizione geometrica impone \( x > 2 \): Il luogo geometrico è la **semiretta** di equazione \( \mathbf{y = x} \) limitata al dominio \(\mathbf{x > 2}\).

Soluzione Problema 8

La figura rappresentativa del Problema è la seguente :

1. Area della Sezione \( A_{sup}(x) \)

Usiamo il rapporto di similitudine tra il lato della sezione (\(l_x\)) e il lato di base (\(L=2\)), e tra l'altezza della piramide superiore (\(x\)) e l'altezza totale (\(H=4\)):

\[ \frac{l_x}{2} = \frac{x}{4} \implies l_x = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2} \]

L'area della sezione è:

\[ A_{sup}(x) = l_x^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \mathbf{\frac{x^2}{4}} \]

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2. Rapporto \(\mathbf{k(x)}\)

Sostituiamo \(A_{base}=4\) e \(A_{sup}(x) = \frac{x^2}{4}\) nel rapporto. Si ottiene la forma indeterminata \(\frac{0}{0}\) per \(x \to 4\):

\[ A_{base} - A_{sup}(x) = 4 - \frac{x^2}{4} = \frac{16 - x^2}{4} \]

Usando la scomposizione \(16 - x^2 = (4-x)(4+x)\):

\[ A_{base} - A_{sup}(x) = \frac{(4-x)(4+x)}{4} \]

Osservando che \( d=4-x \), il rapporto \(\mathbf{k(x)}\) diventa:

\[ k(x) = \frac{\frac{(4-x)(4+x)}{4}}{4-x} \]

Dobbiamo calcolare il limite per \(x \to 4\), possiamo semplificare il termine \((4-x)\) (essendo \(x \neq 4\)):

\[ \mathbf{k(x) = \frac{4+x}{4}} \]

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3. Calcolo del Limite per \(x \to 4^{-}\)

Calcoliamo il limite sostituendo \(x=4\) nell'espressione semplificata:

\[ L = \lim_{x \to 4^{-}} k(x) = \lim_{x \to 4^{-}} \frac{4+x}{4} \] \[ L = \frac{4+4}{4} = \frac{8}{4} \]

Il limite è un valore finito e non nullo:

\[ \mathbf{L = 2} \]