Test sui punti di non derivabilità

1. Classifica il punto di non derivabilità della funzione $f(x) = |x - 2|$ in $x=2$.

A) Cuspide verso l'alto.

B) Punto angoloso.

C) Flesso a tangente verticale.

D) La funzione è derivabile in $x=2$.

1. **Continuità in $x=2$:** La funzione $f(x) = |x - 2|$ è la composizione di funzioni continue ($g(x) = x-2$ e $h(y) = |y|$), quindi è **continua** su tutto $\mathbb{R}$. In particolare, $\lim_{x \to 2} |x - 2| = |2 - 2| = 0 = f(2)$. La condizione di continuità è soddisfatta.

2. La funzione può essere riscritta come $f(x) = \begin{cases} x - 2 & \text{se } x \ge 2 \\ -(x - 2) = 2 - x & \text{se } x < 2 \end{cases}$. Le derivate delle due leggi sono $f'(x)^+ = 1$ e $f'(x)^- = -1$.

3. Calcoliamo le derivate laterali in $x=2$:
Derivata destra: $\lim_{x \to 2^+} f'(x) = 1$.
Derivata sinistra: $\lim_{x \to 2^-} f'(x) = -1$.

4. Poiché le derivate laterali esistono e sono finite, ma sono diverse ($1 \neq -1$), il punto $x=2$ è un **punto angoloso**.

Risposta corretta: B) Punto angoloso.

Grafico della funzione

2. Classifica l'eventuale punto di non derivabilità della funzione $f(x) = |x| \cdot \sin x$ in $x=0$.

A) Cuspide verso l'alto.

B) Punto angoloso.

C) Flesso a tangente verticale.

D) La funzione è derivabile in $x=0$.

1. **Verifica della Continuità in $x=0$:**
Valore della funzione: $f(0) = |0| \cdot \sin(0) = 0$.
Limite sinistro ($x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} |x| \cdot \sin x = |0| \cdot \sin(0) = 0$.
Limite destro ($x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} |x| \cdot \sin x = |0| \cdot \sin(0) = 0$.
Poiché $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$, la funzione è **continua** in $x=0$.

2. **Funzione a Tratti e Derivate:** La funzione si riscrive come: $$f(x) = \begin{cases} -x \sin x & \text{se } x < 0 \\ x \sin x & \text{se } x \ge 0 \end{cases}$$ Calcoliamo le derivate (usando la regola del prodotto):
Per $x < 0$: $f'(x)^- = -1 \cdot \sin x - x \cdot \cos x = -\sin x - x \cos x$.
Per $x > 0$: $f'(x)^+ = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

3. **Derivabilità in $x=0$:** Calcoliamo i limiti delle derivate laterali:
Derivata sinistra: $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (-\sin x - x \cos x) = 0 - 0 = 0$.
Derivata destra: $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (\sin x + x \cos x) = 0 + 0 = 0$.

4. **Conclusione:** Poiché le derivate laterali esistono e sono uguali ($0 = 0$), la funzione è **derivabile in $x=0$**.

Risposta corretta: D) La funzione è derivabile in $x=0$.

Grafico della funzione

3. Classifica il punto di non derivabilità della funzione $f(x) = \sqrt[3]{x}$ in $x=0$.

A) Flesso a tangente verticale.

B) Cuspide verso l'alto.

C) Punto angoloso.

D) La funzione è derivabile in $x=0$.

1. **Continuità in $x=0$:** La funzione $f(x) = \sqrt[3]{x}$ è definita e **continua** su tutto $\mathbb{R}$, quindi è continua in $x=0$.

2. Calcoliamo la derivata prima: $f'(x) = \frac{d}{dx} (x^{1/3}) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$. La derivata non è definita in $x=0$.

3. Calcoliamo il limite della derivata in $x=0$:
$\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$. Poiché $x^2$ è sempre positivo, $\sqrt[3]{x^2} \to 0^+$.
Quindi, $\lim_{x \to 0} f'(x) = +\infty$.

4. Poiché il limite della derivata in $x=0$ è infinito e ha lo stesso segno (sia da destra che da sinistra è $+\infty$), il punto è un **flesso a tangente verticale** (in salita).

Risposta corretta: A) Flesso a tangente verticale.

Grafico della funzione

4. Classifica il punto di non derivabilità della funzione $f(x) = \sqrt{|x|}$ in $x=0$.

A) Punto angoloso.

B) Flesso a tangente verticale.

C) Cuspide verso l'alto.

D) Cuspide verso il basso.

1. **Continuità in $x=0$:** La funzione è continua in $x=0$ (poiché $\lim_{x \to 0} \sqrt{|x|} = 0 = f(0)$).

2. La funzione può essere riscritta come $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{se } x \ge 0 \\ \sqrt{-x} & \text{se } x < 0 \end{cases}$. Le derivate sono $f'(x)^+ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ e $f'(x)^- = \frac{-1}{2\sqrt{-x}}$.

3. Calcoliamo i limiti delle derivate laterali in $x=0$:
Derivata sinistra: $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{2\sqrt{-x}} = -\infty$.
Derivata destra: $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2\sqrt{x}} = +\infty$.

4. Poiché le derivate laterali sono entrambe infinite ma hanno segno opposto ($-\infty$ e $+\infty$), il punto $x=0$ è una **cuspide**. Dato che la derivata sinistra è $-\infty$ e la destra è $+\infty$, secondo la convenzione usata, è una **cuspide verso il basso**.

Risposta corretta: D) Cuspide verso il basso.

Grafico della funzione

5. La funzione $f(x) = \frac{x}{x-1}$ non è derivabile in $x=1$. Qual è la ragione?

A) Perché la derivata destra è diversa dalla derivata sinistra.

B) Perché la funzione non è continua in $x=1$.

C) Perché si ha una tangente verticale in quel punto.

D) Perché il limite della derivata non esiste.

1. Una condizione necessaria (ma non sufficiente) per la derivabilità in un punto è la **continuità**.

2. Calcoliamo il limite in $x=1$: $\lim_{x \to 1} \frac{x}{x-1}$. Il numeratore va a 1, il denominatore va a 0, quindi il limite è infinito (Asintoto Verticale).

3. Poiché $\lim_{x \to 1} f(x) = \infty$, la funzione ha una discontinuità di seconda specie e **non è continua** in $x=1$. Di conseguenza, non è neanche derivabile.

Risposta corretta: B) Perché la funzione non è continua in $x=1$.

Grafico della funzione

6. Classifica il punto di non derivabilità della funzione $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{se } x \le 0 \\ 3x^2 & \text{se } x > 0 \end{cases}$ in $x=0$.

A) Flesso a tangente verticale.

B) Cuspide verso l'alto.

C) Punto angoloso.

D) La funzione è derivabile in $x=0$.

1. **Verifica della Continuità in $x=0$:**
Valore della funzione: $f(0) = 0^2 = 0$.
Limite sinistro ($x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$.
Limite destro ($x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 3x^2 = 0$.
Poiché $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$, la funzione è **continua** in $x=0$.

2. **Derivabilità in $x=0$:** Calcoliamo le derivate laterali. Le derivate delle due leggi sono:
Per $x < 0$: $f'(x)^- = \frac{d}{dx} (x^2) = 2x$.
Per $x > 0$: $f'(x)^+ = \frac{d}{dx} (3x^2) = 6x$.

3. Calcoliamo i limiti delle derivate laterali in $x=0$:
Derivata sinistra: $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (2x) = 0$.
Derivata destra: $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (6x) = 0$.

4. **Conclusione:** Poiché le derivate laterali esistono e sono uguali ($0 = 0$), la funzione è **derivabile in $x=0$**.

Risposta corretta: D) La funzione è derivabile in $x=0$.

Grafico della funzione

7. La funzione $f(x) = \begin{cases} 2x & \text{se } x \le 0 \\ x^3 & \text{se } x > 0 \end{cases}$ non è derivabile in $x=0$. Qual è la ragione?

A) Perché la funzione non è continua in $x=0$.

B) Perché la derivata è infinita in quel punto.

C) Perché la derivata destra è diversa dalla derivata sinistra.

D) Perché il limite della funzione è infinito.

1. **Verifica della Continuità in $x=0$:**
Valore della funzione: $f(0) = 2(0) = 0$.
Limite sinistro ($x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 2x = 2(0) = 0$.
Limite destro ($x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^3 = 0^3 = 0$.
Poiché $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$, la funzione è **continua** in $x=0$.

2. **Derivabilità in $x=0$:** Calcoliamo le derivate laterali. Le derivate delle due leggi sono $f'(x)^- = 2$ e $f'(x)^+ = 3x^2$.

3. Derivata sinistra: $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 2$.

4. Derivata destra: $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (3x^2) = 0$.

5. Poiché $2 \neq 0$, le derivate laterali esistono e sono finite, ma sono diverse. La ragione della non derivabilità è che **la derivata destra è diversa dalla derivata sinistra** (il punto è un punto angoloso).

Risposta corretta: C) Perché la derivata destra è diversa dalla derivata sinistra.

Grafico della funzione

8. Classifica il punto di non derivabilità della funzione $f(x) = 2 - \sqrt{|x - 1|}$ in $x=1$.

A) Punto angoloso.

B) Cuspide verso l'alto.

C) Flesso a tangente verticale.

D) Cuspide verso il basso.

1. **Verifica della Continuità in $x=1$:**
Valore della funzione: $f(1) = 2 - \sqrt{|1 - 1|} = 2$.
Limite destro: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2 - \sqrt{x - 1}) = 2 - \sqrt{0^+} = 2$.
Limite sinistro: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2 - \sqrt{-(x - 1)}) = 2 - \sqrt{1 - x} = 2 - \sqrt{0^+} = 2$.
Poiché $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2$, la funzione è **continua** in $x=1$.

2. **Derivabilità e Classificazione:** Calcoliamo i limiti delle derivate laterali.

3. Per $x \to 1^-$ (da sinistra), la funzione è $f(x) = 2 - \sqrt{1 - x}$. La derivata è $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$.
$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{2\sqrt{1-x}} = \frac{1}{0^+} = +\infty$.

4. Per $x \to 1^+$ (da destra), la funzione è $f(x) = 2 - \sqrt{x - 1}$. La derivata è $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.
$\lim_{x \to 1^+} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} -\frac{1}{2\sqrt{x-1}} = -\infty$.

5. Poiché le derivate laterali sono entrambe infinite e hanno segno opposto ($+\infty$ e $-\infty$), il punto è una **cuspide**. Dato che la derivata sinistra è $ +\infty $ e la destra è $ -\infty $, è una **cuspide verso l'alto**.

Risposta corretta: B) Cuspide verso l'alto.

Grafico della funzione

9. Quali sono i punti di non derivabilità della funzione $f(x) = |x^2 - 4|$?

A) Solo $x=0$.

B) $x = -2$ e $x = 2$.

C) Non ha punti di non derivabilità.

D) Solo $x=4$.

1. **Punti Critici e Funzione a Tratti:** I punti critici si hanno dove l'argomento del valore assoluto si annulla: $x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2$. Analizziamo il caso $x=2$ (il caso $x=-2$ è simmetrico). La funzione a tratti diventa: \[f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{se } x \le -2 \text{ o } x \ge 2 \\ -(x^2 - 4) = 4 - x^2 & \text{se } -2 < x < 2 \end{cases}\]

2. **Verifica della Continuità in $x=2$:**
Valore della funzione: $f(2) = 2^2 - 4 = 0$.
Limite sinistro ($x \to 2^-$): $\lim_{x \to 2^-} (4 - x^2) = 4 - 4 = 0$.
Limite destro ($x \to 2^+$): $\lim_{x \to 2^+} (x^2 - 4) = 4 - 4 = 0$.
Poiché $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 0$, la funzione è **continua** in $x=2$.

3. **Derivabilità in $x=2$:** Calcoliamo le derivate laterali. Le derivate delle leggi sono $f'(x)^+ = 2x$ e $f'(x)^- = -2x$.
Derivata destra: $\lim_{x \to 2^+} f'(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x) = 2(2) = 4$.
Derivata sinistra: $\lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^-} (-2x) = -2(2) = -4$.

4. **Conclusione:** Poiché le derivate laterali in $x=2$ sono finite ma diverse ($4 \neq -4$), il punto $x=2$ è un **punto angoloso**. Per simmetria, anche $x=-2$ è un punto angoloso. I punti di non derivabilità sono quindi $x = -2$ e $x = 2$.

Risposta corretta: B) $x = -2$ e $x = 2$.

Grafico della funzione

10. Classifica il punto di non derivabilità della funzione $f(x) = |\cos x|$ in $x = \frac{\pi}{2}$.

A) Punto angoloso.

B) Cuspide verso l'alto.

C) Flesso a tangente verticale.

D) La funzione è derivabile in $x = \frac{\pi}{2}$.

1. **Verifica della Continuità in $x = \frac{\pi}{2}$:**
La funzione è continua su tutto $\mathbb{R}$ in quanto composizione di funzioni continue (coseno e valore assoluto). Verifichiamo il punto di raccordo:
Valore della funzione: $f(\frac{\pi}{2}) = |\cos(\frac{\pi}{2})| = |0| = 0$.
Limite sinistro ($x \to \frac{\pi}{2}^-$): $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} |\cos x| = |\cos(\frac{\pi}{2})| = 0$.
Limite destro ($x \to \frac{\pi}{2}^+$): $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} |\cos x| = |\cos(\frac{\pi}{2})| = 0$.
Poiché $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = 0$, la funzione è **continua** in $x = \frac{\pi}{2}$.

2. **Funzione a Tratti per la Derivabilità:** Il coseno è positivo per $x < \frac{\pi}{2}$ (vicino a $\frac{\pi}{2}$) e negativo per $ x > \frac{\pi}{2} $ (vicino a $\frac{\pi}{2}$). La funzione si riscrive come:
\[ f(x) = \begin{cases} \cos x & \text{se } x \le \frac{\pi}{2} \\ -\cos x & \text{se } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}\]
Le derivate sono: $f'(x)^- = -\sin x$ e $f'(x)^+ = \sin x$.

3. **Derivabilità in $x = \frac{\pi}{2}$:** Calcoliamo le derivate laterali:
Derivata sinistra: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f'(x) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
Derivata destra: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f'(x) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

4. **Conclusione:** Poiché le derivate laterali sono finite e diverse ($-1 \neq 1$), il punto $x = \frac{\pi}{2}$ è un **punto angoloso**.

Risposta corretta: A) Punto angoloso.

Grafico della funzione