Studia la funzione e controlla la soluzione guidata dei vari punti cliccando sul bottone corrispondente. Premi il bottone RIPRISTINA per cancellare gli output.
\( x \geq -2 \) → \( [-2, +\infty) \)
\( f(-x) = (-x)\sqrt{-x + 2} \). La funzione non è né pari né dispari in quanto il dominio non è simmetrico rispetto all'origine e \( f(-x) \neq f(x) \) o \( -f(x) \).
Asse y (x = 0):
\( f(0) = 0 \cdot \sqrt{0 + 2} = 0 \) → Punto (0, 0).
Asse x (y = 0):
Risolviamo \( x\sqrt{x + 2} = 0 \).
Punti di intersezione: (0, 0) e (-2, 0).
La funzione è definita per \( x \geq -2 \).
Dominio: \( x \geq -2 \). Analizziamo:
a) \( x \to -2^+ \):
\[ \lim_{x \to -2^+} x\sqrt{x + 2} \]
Risultato: \[ (-2) \cdot 0^+ = \boxed{0^-} \]
b) \( x \to +\infty \):
\[ \lim_{x \to +\infty} x\sqrt{x + 2} \]
Osserviamo che: \[ x\sqrt{x + 2} \] si comporta come \[ x^{3/2} \]
Quindi, per \( x \to +\infty \): \[ x^{3/2} \to \boxed{+\infty} \]
La funzione è continua in tutto il suo dominio, quindi non ci sono asintoti verticali
\[ \lim_{x \to +\infty} x\sqrt{x + 2} = +\infty \quad \Rightarrow \quad \text{Nessun asintoto orizzontale} \]
\[ m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty \quad \Rightarrow \quad \text{Non finito!} \]
La funzione non ha asintoti di alcun tipo.
\[ y = x \cdot \sqrt{x + 2} = x \cdot (x + 2)^{1/2} \]
Applichiamo la regola del prodotto:
\[ \frac{d}{dx}[u \cdot v] = u' \cdot v + u \cdot v' \]
Dove:
\( u = x \) → \( u' = 1 \)
\( v = (x + 2)^{1/2} \)
Applicazione della regola della catena:
\[ v' = \frac{1}{2}(x + 2)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x + 2) = \frac{1}{2\sqrt{x + 2}} \]
\[ \frac{dy}{dx} = \underbrace{1 \cdot \sqrt{x + 2}}_{\text{Termine 1}} + \underbrace{x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 2}}}_{\text{Termine 2}} \]
Riscriviamo con denominatore comune:
\[ = \frac{2(x + 2)}{2\sqrt{x + 2}} + \frac{x}{2\sqrt{x + 2}} = \frac{2(x + 2) + x}{2\sqrt{x + 2}} \]
Sviluppiamo il numeratore:
\[ 2x + 4 + x = 3x + 4 \]
Risultato finale:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3x + 4}{2\sqrt{x + 2}} \]
Calcoliamo il limite per \( x \to -2^+ \):
Passo 1: Analisi del Numeratore
\[ 3x + 4 \xrightarrow{x \to -2^+} 3(-2) + 4 = -2 \]
Passo 2: Analisi del Denominatore
\[ 2\sqrt{x + 2} \xrightarrow{x \to -2^+} 2\sqrt{0^+} = 0^+ \]
Risultato Finale:
\[ \lim_{x \to -2^+} \frac{-2}{0^+} = -\infty \]
Interpretazione: La pendenza diventa infinitamente ripida verso il basso
Conseguenze:
| Intervallo | Segno \( f'(x) \) | Comportamento |
|---|---|---|
| \( -2 < x < -\frac{4}{3} \) | − | Decrescente |
| \( x > -\frac{4}{3} \) | + | Crescente |
Posizione del punto:
\[
x = -\frac{4}{3} \quad (\approx -1.333)
\]
Calcolo dell'ordinata:
\[
y = f\left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{4}{3} \cdot \sqrt{-\frac{4}{3} + 2}
\]
Sviluppo del calcolo:
\[
= -\frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = -\frac{4\sqrt{6}}{9} \quad (\approx -1.09)
\]
Classificazione:
Coordinate complete:
\[
\left( -\frac{4}{3},\ -\frac{4\sqrt{6}}{9} \right)
\]
\[ \boxed{f'(x) = \frac{3x + 4}{2\sqrt{x + 2}} \quad \text{per } x > -2} \]
\[ f'(x) = \frac{3x + 4}{2\sqrt{x + 2}} \]
\[ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \]
Dove:
\( f = 3x + 4 \quad (f' = 3) \)
\( g = 2\sqrt{x + 2} \quad (g' = \frac{1}{\sqrt{x + 2}}) \)
\[ f''(x) = \frac{ 3 \cdot 2\sqrt{x + 2} - (3x + 4) \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 2}} }{(2\sqrt{x + 2})^2} \]
\[ = \frac{ 6\sqrt{x + 2} - \frac{3x + 4}{\sqrt{x + 2}} }{4(x + 2)} \]
Moltiplichiamo il primo termine per \( \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}} \):
\[ = \frac{\frac{6(x + 2) - (3x + 4)}{\sqrt{x + 2}}}{4(x + 2)} \]
Sviluppiamo il numeratore:
\[ 6x + 12 - 3x - 4 = 3x + 8 \]
\[ f''(x) = \frac{3x + 8}{4(x + 2)^{3/2}} = \frac{3x + 8}{4(x + 2)\sqrt{x + 2}} \]
| Componente | Segno | Impatto |
|---|---|---|
| Denominatore \( 4(x + 2)^{3/2} \) | Sempre positivo | Non cambia il segno |
| Numeratore \( 3x + 8 \) |
− per \( x < -\frac{8}{3} \) + per \( x > -\frac{8}{3} \) |
Dominio effettivo: \( x > -2 \) \( 3x + 8 > 0 \) sempre nel dominio |
\[ \boxed{f''(x) = \frac{3x + 8}{4(x + 2)^{3/2}}} \]
La funzione ha concavità sempre verso l'alto nel dominio
(\( f''(x) > 0 \) ∀x ∈ (-2, +∞))
Non esistono punti di flesso perché:
1. Non ci sono cambi di concavità
2. \( f''(x) \) non si annulla mai nel dominio
\( \mathbb{R} \) (tutti i numeri reali)
\( f(-x) = \sqrt[3]{-x - 2} \). Non è né pari né dispari.
Asse y (x=0): \( y = \sqrt[3]{-2} \approx -1.26 \) → Punto (0, -1.26)
Asse x (y=0): \( x = 2 \) → Punto (2, 0)
\[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x-2} = +\infty \quad \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x-2} = -\infty \]
La funzione \( y = \sqrt[3]{x - 2} \) non ha asintoti verticali, orizzontali o obliqui.
La funzione è continua in tutto il suo dominio, quindi non ci sono asintoti verticali.
\[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x-2} = +\infty \quad \text{e} \quad \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x-2} = -\infty \]
Non ci sono asintoti orizzontali.
Calcoliamo \( m \):
\[ m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\sqrt[3]{x - 2}}{x} = 0 \]
Non ci sono asintoti obliqui.
\[ y = \sqrt[3]{x - 2} = (x - 2)^{1/3} \]
\[ \frac{d}{dx} [u^n] = n \cdot u^{n-1} \cdot u' \]
Dove:
\( u = x - 2 \)
\( n = \frac{1}{3} \)
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(x - 2)^{-2/3} \cdot \frac{d}{dx}(x - 2) \]
\[ \frac{d}{dx}(x - 2) = 1 \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(x - 2)^{-2/3} \cdot 1 = \frac{1}{3(x - 2)^{2/3}} \]
Forma alternativa con radicali:
\[
f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x - 2)^2}}
\]
Per \( x = 1 \):
\[
f'(1) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(1-2)^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{1}} = \frac{1}{3}
\]
Per \( x = 3 \):
\[
f'(3) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(3-2)^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{1}} = \frac{1}{3}
\]
\[ \boxed{f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x - 2)^2}} \quad \text{per } x \neq 2} \]
\[ f'(x) = \frac{1}{3}(x - 2)^{-2/3} \]
\[ \frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1} \]
Dove:
\( n = -\frac{2}{3} \)
\[ f''(x) = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot (x - 2)^{-5/3} \cdot 1 \]
\[ = -\frac{2}{9}(x - 2)^{-5/3} \]
\[ f''(x) = -\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{(x - 2)^{5/3}} = -\frac{2}{9\sqrt[3]{(x - 2)^5}} \]
| Intervallo | Segno f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| x < 2 | + | Verso l'alto |
| x > 2 | - | Verso il basso |
Per x = 1:
\[
f''(1) = -\frac{2}{9\sqrt[3]{(-1)^5}} = +\frac{2}{9} \quad (> 0)
\]
Per x = 3:
\[
f''(3) = -\frac{2}{9\sqrt[3]{(1)^5}} = -\frac{2}{9} \quad (< 0)
\]
\[ \boxed{f''(x) = -\frac{2}{9\sqrt[3]{(x - 2)^5}} \quad \text{per } x \neq 2} \]
In x = 2 la derivata seconda non è definita, ma abbiamo un:
Punto di Flesso Verticale in (2, 0) dove cambia la concavità
La funzione è definita dove il radicando è non negativo:
\[ x^2 - 1 \geq 0 \implies x \leq -1 \ \text{ o } \ x \geq 1 \]
Dominio: \( (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \)
Sostituendo \( -x \) nella funzione:
\[ f(-x) = -x - 1 + \sqrt{(-x)^2 - 1} = -x - 1 + \sqrt{x^2 - 1} \]
Non è né pari né dispari.
Asse y (x=0): Non definita nel dominio.
Asse x (y=0):
Risolviamo \( x - 1 + \sqrt{x^2 - 1} = 0 \):
\[ \sqrt{x^2 - 1} = 1 - x \implies (1-x ≥ 0) \quad x^2 - 1 = (1 - x)^2, \quad \\ x^2 - 1 = 1 - 2x + x^2 \implies -2 = -2x \implies \boxed{x = 1} \]
Intersezione in \( (1, 0) \)
La funzione è definita per:
\[ x^2 - 1 \geq 0 \implies x \leq -1 \ \text{ o } \ x \geq 1 \]
Dobbiamo quindi risolvere la disequazione \( x - 1 + \sqrt{x^2 - 1} \geq 0 \) in questo dominio.
Riscriviamo la disequazione isolando la radice:
\[ \sqrt{x^2 - 1} \geq 1 - x \]
In questo caso, il secondo membro della disequazione è negativo. Poiché la radice quadrata è sempre non negativa (nel suo dominio), la disequazione è sempre verificata per tutti gli \( x \) appartenenti al dominio e che soddisfano \( x > 1 \). Considerando il dominio \( x \geq 1 \), questo intervallo è \( x > 1 \).
In questo caso, possiamo elevare al quadrato entrambi i membri della disequazione, mantenendo il verso:
\[ (\sqrt{x^2 - 1})^2 \geq (1 - x)^2 \]
\[ x^2 - 1 \geq 1 - 2x + x^2 \]
\[ -1 \geq 1 - 2x \]
\[ 2x \geq 2 \]
\[ x \geq 1 \]
Dobbiamo ora considerare l'intersezione di questa soluzione con le condizioni del caso (\( x \leq 1 \)) e con il dominio della funzione (\( x \leq -1 \ \text{ o } \ x \geq 1 \)). L'unica intersezione non vuota è \( x = 1 \).
Mettendo insieme i risultati dei due casi:
Pertanto, \( f(x) \geq 0 \) per \( x \geq 1 \).
In sintesi:
\[ \boxed{ \begin{aligned} &f(x) > 0 \ \text{per} \ x > 1 \\ &f(x) = 0 \ \text{per} \ x = 1 \\ &f(x) < 0 \ \text{per} \ x \leq -1 \end{aligned} } \]
Calcoliamo:
\( L = \lim_{x \to -\infty} (x - 1 + \sqrt{x^2 - 1}) \)
Passaggio 1:
Portiamo \( x^2 \) fuori dalla radice:
\( \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{x^2\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)} = |x|\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \)
Poiché \( x \to -\infty \), \( |x| = -x \), quindi:
\( \sqrt{x^2 - 1} = -x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \)
Passaggio 2: Riscrittura del limite
Sostituendo nell'espressione:
\( L = \lim_{x \to -\infty} \left(x - 1 - x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right) \)
Raccogliamo \( x \):
\( L = \lim_{x \to -\infty} x\left(1 - \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right) - 1 \)
Passaggio 3: Applicazione del limite notevole
Consideriamo il termine tra parentesi:
\( 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = 1 - (1 - \frac{1}{x^2})^{1/2} \)
Per \( \frac{1}{x^2} \to 0 \), usiamo l'asintotico \( (1 + a)^k - 1 \sim ka \) con \( a = -\frac{1}{x^2} \) e \( k = \frac{1}{2} \):
\( (1 - \frac{1}{x^2})^{1/2} - 1 \sim -\frac{1}{2x^2} \)
Quindi:
\( 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \sim \frac{1}{2x^2} \)
Passaggio 4: Sostituzione asintotica
Il limite diventa:
\( L = \lim_{x \to -\infty} x\left(\frac{1}{2x^2}\right) - 1 = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{2x} - 1 = 0 - 1 = -1 \)
Risultato finale: \( \boxed{-1} \)
Calcoliamo:
\( L = \lim_{x \to +\infty} (x - 1 + \sqrt{x^2 - 1}) \)
Passaggio 1: Semplificazione radicale
Portiamo \( x^2 \) fuori dalla radice:
\( \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{x^2\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)} = |x|\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \)
Poiché \( x \to +\infty \), \( |x| = x \), quindi:
\( \sqrt{x^2 - 1} = x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \)
Passaggio 2: Sostituzione e raccoglimento
Sostituendo nell'espressione:
\( L = \lim_{x \to +\infty} \left(x - 1 + x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right) \)
Raccogliamo \( x \):
\( L = \lim_{x \to +\infty} x\left(1 + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right) - 1 \)
Passaggio 3: Calcolo diretto
Osserviamo che:
\( \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \to 1 \) per \( x \to +\infty \)
Quindi:
\( L = \lim_{x \to +\infty} x(1 + 1) - 1 = \lim_{x \to +\infty} (2x - 1) = +\infty \)
Perché non è una forma indeterminata:
La somma \( x + \sqrt{x^2 - 1} \) equivale a \( x + x = 2x \) asintoticamente,
e \( 2x - 1 \) tende chiaramente a \( +\infty \).
Risultato finale: \( \boxed{+\infty} \)
Per \( x \to +\infty \), cerchiamo \( y = mx + q \) dove:
Calcolo di \( m \):
\( m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1 + \sqrt{x^2 - 1}}{x} \)
Scomponiamo la radice:
\( \sqrt{x^2 - 1} = x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \)
Sostituendo:
\( m = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x} + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \right) \)
Poiché \( \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \to 1 \) e \( \frac{1}{x} \to 0 \):
\( m = 1 + 1 = 2 \)
Calcolo di \( q \):
\( q = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - 2x] = \lim_{x \to +\infty} (x - 1 + \sqrt{x^2 - 1} - 2x) \)
\( = \lim_{x \to +\infty} (-x - 1 + x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} ) \)
Raccogliamo \( x \):
\( = \lim_{x \to +\infty} x\left(-1 + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right) - 1 \)
Usiamo l'asintotico \( \sqrt{1 - t} \sim 1 - \frac{t}{2} \) per \( t \to 0 \):
\( -1 + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \sim -1 + \left(1 - \frac{1}{2x^2}\right) = -\frac{1}{2x^2} \)
Sostituendo:
\( q = \lim_{x \to +\infty} x\left(-\frac{1}{2x^2}\right) - 1 = \lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{2x} - 1 = 0 - 1 = -1 \)
Equazione asintoto obliquo: \( y = 2x - 1 \)
Data la funzione \( f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2 - 1} \), calcoliamo la derivata:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x - 1) + \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 - 1}) \]
\[ \frac{d}{dx}(x - 1) = 1 \]
Sia \( u = x^2 - 1 \), allora \( \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{u} = u^{1/2} \).
Applicando la regola della catena \( \frac{d}{dx}[g(h(x))] = g'(h(x)) \cdot h'(x) \), con \( g(u) = u^{1/2} \) e \( h(x) = x^2 - 1 \):
\[ g'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \]
\[ h'(x) = 2x \]
Quindi:
\[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 - 1}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \]
Combinando i risultati, otteniamo la derivata prima:
\[ f'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \]
La derivata esiste dove \( x^2 - 1 > 0 \), quindi:
Vogliamo risolvere la disequazione \( f'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \geq 0 \), che è equivalente a:
\[ \frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1}} \geq 0 \]
Dato che nel dominio \( x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \) si ha \( \sqrt{x^2 - 1} > 0 \), il segno di \( f'(x) \) dipende dal segno del numeratore: \( \sqrt{x^2 - 1} + x \).
Consideriamo la disequazione: \( \sqrt{x^2 - 1} \geq -x \).
In questo caso, \( -x \) è negativo. Poiché \( \sqrt{x^2 - 1} \geq 0 \), la disequazione \( \sqrt{x^2 - 1} \geq -x \) è sempre verificata per \( x > 1 \) (che appartiene al dominio).
Quindi, per \( x > 1 \), \( f'(x) > 0 \).
In questo caso, eleviamo al quadrato entrambi i membri di \( \sqrt{x^2 - 1} \geq -x \) (entrambi non negativi nel dominio \( x \leq -1 \)):
\[ (\sqrt{x^2 - 1})^2 \geq (-x)^2 \]
\[ x^2 - 1 \geq x^2 \]
\[ -1 \geq 0 \]
Questa disuguaglianza non è mai vera. Quindi, per \( x \leq -1 \), \( \sqrt{x^2 - 1} < -x \), il che implica \( \sqrt{x^2 - 1} + x < 0 \), e quindi \( f'(x) < 0 \).
Conclusione sulla Monotonia:
| Intervallo | Segno \( f'(x) \) | Andamento \( f(x) \) |
|---|---|---|
| \( (-\infty, -1) \) | Negativo | Decrescente |
| \( (1, +\infty) \) | Positivo | Crescente |
Punti critici: Nessuno (\( f'(x) \) non si annulla mai)
Punti di non derivabilità:
Calcoliamo il limite della derivata prima per \( x \to -1^- \):
\[ \lim_{x \to -1^-} f'(x) = \lim_{x \to -1^-} \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) \]
Analizziamo il termine frazionario: \( \lim_{x \to -1^-} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \). Il numeratore tende a \( -1 \). Per \( x < -1 \) e \( x \) vicino a \( -1 \), \( x^2 \) è leggermente maggiore di 1, quindi \( x^2 - 1 \) è una quantità positiva che tende a 0. Dunque, \( \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \to \frac{-1}{0^+} = -\infty \).
Pertanto, \( \lim_{x \to -1^-} f'(x) = 1 - \infty = -\infty \) (tangente verticale).
Calcoliamo il limite della derivata prima per \( x \to 1^+ \):
\[ \lim_{x \to 1^+} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) \]
Analizziamo il termine frazionario: \( \lim_{x \to 1^+} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \). Il numeratore tende a \( 1 \). Per \( x > 1 \) e \( x \) vicino a \( 1 \), \( x^2 \) è leggermente maggiore di 1, quindi \( x^2 - 1 \) è una quantità positiva che tende a 0. Dunque, \( \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \to \frac{1}{0^+} = +\infty \).
Pertanto, \( \lim_{x \to 1^+} f'(x) = 1 + \infty = +\infty \) (tangente verticale).
• Nessun massimo/minimo relativo (funzione monotona negli intervalli)
Partendo dalla derivata prima:
\[ f'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \]
Deriviamo \( f'(x) \) utilizzando la regola del quoziente:
\[ f''(x) = 0 + \frac{\sqrt{x^2 - 1} \cdot 1 - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x^2 - 1} \]
Semplifichiamo il numeratore:
\[ \sqrt{x^2 - 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{(x^2 - 1) - x^2}{\sqrt{x^2 - 1}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \]
Quindi:
\[ f''(x) = -\frac{1}{(x^2 - 1)^{3/2}} \]
La derivata seconda esiste dove \( x^2 - 1 > 0 \), quindi:
Esaminiamo \( f''(x) = -\frac{1}{(x^2 - 1)^{3/2}} \):
\( (x^2 - 1)^{3/2} > 0 \) ⇒ \( f''(x) = -(\text{positivo}) < 0 \)
\( (x^2 - 1)^{3/2} > 0 \) ⇒ \( f''(x) = -(\text{positivo}) < 0 \)
La derivata seconda è sempre negativa nel dominio.
| Intervallo | Segno \( f''(x) \) | Concavità |
|---|---|---|
| \( (-\infty, -1) \) | Negativo | Verso il basso (∩) |
| \( (1, +\infty) \) | Negativo | Verso il basso (∩) |
Nessun punto di flesso perché:
La funzione è definita per ogni \( x \in \mathbb{R} \) poiché la radice cubica è definita per tutti i numeri reali.
\[ \boxed{D = \mathbb{R}} \]
Calcoliamo \( f(-x) \):
\[ f(-x) = \sqrt[3]{(-x)^2 - (-x)^3} = \sqrt[3]{x^2 + x^3} \]
La funzione non è né pari (\( f(-x) \neq f(x) \)) né dispari (\( f(-x) \neq -f(x) \)).
Asse x (y=0):
\[ \sqrt[3]{x^2 - x^3} = 0 \implies x^2 - x^3 = 0 \implies x^2(1 - x) = 0 \]
Soluzioni: \( x = 0 \) (doppia) e \( x = 1 \). Punti: \( (0, 0) \), \( (1, 0) \).
Asse y (x=0):
\[ f(0) = \sqrt[3]{0 - 0} = 0 \implies (0, 0) \]
Analizziamo l'espressione all'interno della radice cubica:
\[ x^2 - x^3 = x^2(1 - x) \]
\[ \begin{cases} x^2 > 0 \\ 1 - x > 1 > 0 \end{cases} \implies x^2(1 - x) > 0 \]
\( f(x) > 0 \)
\[ \begin{cases} x^2 > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases} \implies x^2(1 - x) > 0 \]
\( f(x) > 0 \)
\[ \begin{cases} x^2 > 0 \\ 1 - x < 0 \end{cases} \implies x^2(1 - x) < 0 \]
\( f(x) < 0 \)
\[ \boxed{ \begin{aligned} &f(x) > 0 \ \text{per} \ x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \\ &f(x) = 0 \ \text{per} \ x = 0 \ \text{e} \ x = 1 \\ &f(x) < 0 \ \text{per} \ x > 1 \end{aligned} } \]
\[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^2 - x^3} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{-x^3\left(1 - \frac{1}{x}\right)} = -\infty \]
\[ \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^2 - x^3} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{-x^3\left(1 - \frac{1}{x}\right)} = +\infty \]
Riassunto:
Calcolo di \( m \):
\[ m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x\sqrt[3]{1 - \frac{1}{x}}}{x} = -1 \]
Calcolo di \( q \):
\[ q = \lim_{x \to +\infty} [f(x) + x] = \lim_{x \to +\infty} x\left(1 - \sqrt[3]{1 - \frac{1}{x}} \right) \]
Sostituendo \( t = -\frac{1}{x} \):
\[ = \lim_{t \to 0^-} \frac{1 - \sqrt[3]{1 + t}}{-t} = \frac{1}{3} \]
Asintoto: \( y = -x + \frac{1}{3} \)
Calcolo di \( m \):
\[ m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt[3]{1 - \frac{1}{x}}}{x} = -1 \]
Calcolo di \( q \):
\[ \begin{align*} q &= \lim_{x \to -\infty} [f(x) + x] \\ &= \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt[3]{x^2 - x^3} + x \right) \\ &= \lim_{x \to -\infty} x \left( \sqrt[3]{-1 + \frac{1}{x}} + 1 \right) \\ &= \lim_{t \to 0^-} \frac{1 - \sqrt[3]{1 - t}}{t} \quad \text{(con \( t = \frac{1}{x} \))} \\ &= \frac{1}{3} \quad \text{(per il limite notevole)} \end{align*} \]
Asintoto: \( y = -x + \frac{1}{3} \)
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 - x^3 \right)^{1/3} = \frac{2x - 3x^2}{3(x^2 - x^3)^{2/3}} = \frac{x(2 - 3x)}{3x^{4/3}(1 - x)^{2/3}} \]
Semplificata: \( f'(x) = \frac{2 - 3x}{3x^{1/3}(1 - x)^{2/3}} \)
Calcoliamo i limiti laterali della derivata prima \( f'(x) = \frac{2 - 3x}{3 x^{1/3} \sqrt[3]{(1 - x)^2}} \) per \( x \to 0 \).
Limite per \( x \to 0^- \):
Analizziamo il comportamento di ciascun termine:
Quindi, \( \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \frac{2}{3 \cdot (0^-) \cdot 1} = \frac{2}{0^-} = -\infty \).
\( \boxed{\lim_{x \to 0^-} f'(x) = -\infty} \)
Limite per \( x \to 0^+ \):
Analizziamo il comportamento di ciascun termine:
Quindi, \( \lim_{x \to 0^+} f'(x) = \frac{2}{3 \cdot (0^+) \cdot 1} = \frac{2}{0^+} = +\infty \).
\( \boxed{\lim_{x \to 0^+} f'(x) = +\infty} \)
Comportamento: Cuspide verso il basso
Calcoliamo i limiti laterali della derivata prima \( f'(x) = \frac{2 - 3x}{3 x^{1/3} \sqrt[3]{(1 - x)^2}} \) per \( x \to 1 \).
Limite per \( x \to 1^- \):
Analizziamo il comportamento di ciascun termine:
Quindi, \( \lim_{x \to 1^-} f'(x) = \frac{-1}{3 \cdot 1 \cdot (0^+)} = \frac{-1}{0^+} = -\infty \).
\( \boxed{\lim_{x \to 1^-} f'(x) = -\infty} \)
Limite per \( x \to 1^+ \):
Analizziamo il comportamento di ciascun termine:
Quindi, \( \lim_{x \to 1^+} f'(x) = \frac{-1}{3 \cdot 1 \cdot (0^+)} = \frac{-1}{0^+} = -\infty \).
\( \boxed{\lim_{x \to 1^+} f'(x) = -\infty} \)
Comportamento: Flesso a tangente verticale
La derivata prima è \( f'(x) = \frac{2 - 3x}{3 x^{1/3} \sqrt[3]{(1 - x)^2}} \). Il suo dominio è \( \mathbb{R} \setminus \{0, 1\} \).
Analizziamo il segno dei fattori:
| Intervallo | Segno \( 2 - 3x \) | Segno \( x^{1/3} \) | Segno \( \sqrt[3]{(1 - x)^2} \) | Segno \( f'(x) \) | Andamento |
|---|---|---|---|---|---|
| \( x < 0 \) | + | - | + | - | Decrescente |
| \( 0 < x < 2/3 \) | + | + | + | + | Crescente |
| \( 2/3 < x < 1 \) | - | + | + | - | Decrescente |
| \( x > 1 \) | - | + | + | - | Decrescente |
| Intervallo | Andamento | Caratteristiche |
|---|---|---|
| \( x < 0 \) | Decrescente | Tende a \( +\infty \) per \( x \to -\infty \), tangente verticale in \( x = 0 \) |
| \( 0 < x < 2/3 \) | Crescente | Da \( f(0) = 0 \) a massimo locale in \( x = 2/3 \) |
| \( 2/3 < x < 1 \) | Decrescente | Da massimo locale a \( f(1) = 0 \), tangente verticale in \( x = 1 \) |
| \( x > 1 \) | Decrescente | Da \( f(1) = 0 \) a \( -\infty \) per \( x \to +\infty \) |
Massimo Relativo:
\[ x = \frac{2}{3}, \quad y = \sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^3} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3} \]
Punti Singolari:
Data la derivata prima \( f'(x) = \frac{2 - 3x}{3 x^{1/3} (1 - x)^{2/3}} \), calcoliamo la derivata seconda \( f''(x) \) utilizzando la regola del quoziente \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
Sia \( u = 2 - 3x \), allora \( u' = -3 \).
Sia \( v = 3 x^{1/3} (1 - x)^{2/3} \). Calcoliamo \( v' \) usando la regola del prodotto:
\[ v' = 3 \left[ \frac{d}{dx}(x^{1/3}) (1 - x)^{2/3} + x^{1/3} \frac{d}{dx}((1 - x)^{2/3}) \right] \]
\[ v' = 3 \left[ \frac{1}{3} x^{-2/3} (1 - x)^{2/3} + x^{1/3} \cdot \frac{2}{3} (1 - x)^{-1/3} (-1) \right] \]
\[ v' = x^{-2/3} (1 - x)^{2/3} - 2 x^{1/3} (1 - x)^{-1/3} \]
Mettendo in evidenza \( x^{-2/3} (1 - x)^{-1/3} \):
\[ v' = x^{-2/3} (1 - x)^{-1/3} [ (1 - x) - 2x ] = \frac{1 - 3x}{x^{2/3} (1 - x)^{1/3}} \]
Ora applichiamo la regola del quoziente per \( f''(x) = \left(\frac{u}{v}\right)' \):
\[ f''(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(-3) \cdot (3 x^{1/3} (1 - x)^{2/3}) - (2 - 3x) \cdot \left(\frac{1 - 3x}{x^{2/3} (1 - x)^{1/3}}\right)}{\left(3 x^{1/3} (1 - x)^{2/3}\right)^2} \]
\[ f''(x) = \frac{-9 x^{1/3} (1 - x)^{2/3} - \frac{(2 - 3x) (1 - 3x)}{x^{2/3} (1 - x)^{1/3}}}{9 x^{2/3} (1 - x)^{4/3}} \]
Moltiplichiamo il primo termine del numeratore per \( \frac{x^{2/3} (1 - x)^{1/3}}{x^{2/3} (1 - x)^{1/3}} \) per combinare le frazioni nel numeratore:
\[ f''(x) = \frac{\frac{-9 x (1 - x) - (2 - 3x) (1 - 3x)}{x^{2/3} (1 - x)^{1/3}}}{9 x^{2/3} (1 - x)^{4/3}} \]
\[ f''(x) = \frac{-9x + 9x^2 - (2 - 6x - 3x + 9x^2)}{9 x^{2/3 + 2/3} (1 - x)^{4/3 + 1/3}} \]
\[ f''(x) = \frac{-9x + 9x^2 - 2 + 9x - 9x^2}{9 x^{4/3} (1 - x)^{5/3}} \]
\[ f''(x) = \frac{-2}{9 x^{4/3} (1 - x)^{5/3}} \]
La derivata seconda è \( f''(x) = -\frac{2}{9 x^{4/3} (1 - x)^{5/3}} \). Il numeratore è costantemente \( -2 \).
Analizziamo il segno del denominatore \( 9 x^{4/3} (1 - x)^{5/3} \):
| Intervallo | Segno \( -2 \) | Segno \( x^{4/3} \) | Segno \( (1 - x)^{5/3} \) | Segno \( f''(x) \) |
|---|---|---|---|---|
| \( x < 0 \) | − | + | + | − |
| \( 0 < x < 1 \) | − | + | + | − |
| \( x > 1 \) | − | + | − | + |
| Intervallo | Segno f''(x) | Concavità |
|---|---|---|
| x < 0 | − | Verso il basso |
| 0 < x < 1 | − | Verso il basso |
| x > 1 | + | Verso l'alto |
