Del triangolo ABC si hanno le seguenti informazioni:

 Si tracci la bisettrice di e se ne indichi con D l’intersezione con il lato BC.

 1) Si calcoli la lunghezza del lato BC e delle parti in cui esso risulta diviso dal punto D.

 2) Si determinino il coseno dell’angolo in B, la misura di AD e, disponendo di un calcolatore, le misure approssimate degli altri due angoli interni di vertici B e C.

 3) Si trovi sul lato AD, internamente ad esso, un punto P tale che la somma s dei quadrati delle sue distanze dai vertici A, B e C sia m² essendo m un parametro reale dato.

 4) Si discuta tale ultima questione rispetto al parametro m.

 E’ data una piramide retta a base quadrata.

 1) Si sezioni la piramide con un piano parallelo alla base e si indichino con a, b (a>b) e h rispettivamente le misure degli spigoli delle basi e l’altezza del tronco che ne risulta.    Si esprima in funzione di a, b, h il volume del tronco di piramide illustrando il ragionamento seguito.

 2) Si calcoli il volume massimo della piramide data sapendo che la sua superficie laterale è

 3) Si calcoli il raggio della sfera circoscritta alla piramide massima trovata.

 4) Si dia una approssimazione della capacità in litri di tale sfera.

 1) Tra i rettangoli aventi la stessa area di 16 m² trovare quello di perimetro minimo.

 2) Cosa si intende per "funzione periodica "? Quale è il periodo della funzione

 3) Dare un esempio di un solido la cui superficie laterale è 24.

 4) Provare che se l’equazione ha due soluzioni entrambe di valore k, allora k è anche soluzione dell’equazione avendo posto . A quale condizione k è anche soluzione di y’’=0 ?

 5) Dare una giustificazione delle formule

e utilizzarle per provare che:

 6) Dimostrare che l’equazione ammette una sola soluzione reale.

 7) Enunciare il teorema del valor medio o di Lagrange [ da Giuseppe Luigi Lagrange (1736-1813)] e mostrarne le implicazioni ai fini della determinazione della crescenza o decrescenza delle curve.

 8) Di una funzione f(x) si sa che la sua derivata seconda è 2^x e si sa ancora che:

 Quale è f(x)?

 9) Calcolare l’area della parte finita di piano delimitata dalla curva d’equazione e dagli assi cartesiani

 10) Definire gli asintoti – orizzontale, obliquo, verticale – di una curva e fornire un esempio di funzione f(x) il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali.