LICEO SCIENTIFICO 2025 - ORDINAMENTO

LICEO SCIENTIFICO 2025 - QUESTIONARIO

Soluzione proposta da Giuseppe Scoleri con la collaborazione di Angela Santamaria.

Quesito 1

Dato un triangolo \(ABC\), sia \(M\) il punto medio del lato \(BC\) e siano \(B'\) e \(C'\) due punti, rispettivamente, sul lato \(AB\) e sul lato \(AC\), in modo tale che \(AB'=\frac{1}{3}AB\) e \(AC'=\frac{1}{3}AC\). Dimostrare che, se i segmenti \(MB'\) e \(MC'\) sono tra loro congruenti, allora lo sono anche i lati \(AB\) e \(AC\).

Quesito 2

Si considerino la superficie sferica di equazione \((x-1)^2+(y-2)^2+z^2=1\) e il piano \(\pi\) di equazione \(x-2y-2z+d=0\). Discutere, al variare del parametro reale \(d\), se il piano \(\pi\) è secante, tangente o esterno alla superficie sferica. Determinare il valore del parametro \(d\) in modo che \(\pi\) divida la sfera in due parti uguali.

Soluzione quesito 2:

La superficie sferica ha equazione \((x-1)^2+(y-2)^2+z^2=1\). Da questa equazione, si deduce che il centro della sfera è \(C=(1; 2; 0)\) e il raggio è \(R=1\).

Il piano \(\pi\) ha equazione \(x-2y-2z+d=0\).

Applichiamo la formula della distanza di un punto \(P(x_0, y_0, z_0)\) da un piano \(Ax+By+Cz+D=0\), che è data da: \[ \text{distanza} = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]

Per il nostro caso, il punto è il centro della sfera \(C=(1; 2; 0)\) e il piano è \(x-2y-2z+d=0\). Quindi \(A=1, B=-2, C=-2, D=d\).

Indicata con \( s \) la distanza di \( C \) dal piano \(\pi\) risulta:

\[ s = \frac{|(1)(1) + (-2)(2) + (-2)(0) + d|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} \] \[ s = \frac{|1 - 4 + 0 + d|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ s = \frac{|d - 3|}{\sqrt{9}} \] \[ s = \frac{|d - 3|}{3} \]

Discussione:

Piano esterno alla superficie sferica: Ciò avviene se la distanza del centro dal piano è maggiore del raggio (\(s > R\)). \[ \frac{|d - 3|}{3} > 1 \] \[ |d - 3| > 3 \] Questa disuguaglianza si risolve in: \[ d - 3 > 3 \quad \text{o} \quad d - 3 < -3 \] \[ d > 6 \quad \text{o} \quad d < 0 \] Quindi, il piano è esterno se \(d < 0\) o \(d > 6\).
Piano tangente alla superficie sferica: Ciò avviene se la distanza del centro dal piano è uguale al raggio (\(s = R\)). \[ \frac{|d - 3|}{3} = 1 \] \[ |d - 3| = 3 \] Questa equazione si risolve in: \[ d - 3 = 3 \quad \text{o} \quad d - 3 = -3 \] \[ d = 6 \quad \text{o} \quad d = 0 \] Quindi, il piano è tangente se \(d = 0\) o \(d = 6\).
Piano secante la superficie sferica: Ciò avviene se la distanza del centro dal piano è minore del raggio (\(0 \le s < R\)). \[ 0 \le \frac{|d - 3|}{3} < 1 \] La condizione \(0 \le \frac{|d-3|}{3}\) è sempre vera (poiché un modulo è sempre non negativo). Dobbiamo risolvere: \[ \frac{|d - 3|}{3} < 1 \] \[ |d - 3| < 3 \] Questa disuguaglianza si risolve in: \[ -3 < d - 3 < 3 \] Aggiungiamo 3 a tutti i termini: \[ -3 + 3 < d < 3 + 3 \] \[ 0 < d < 6 \] Quindi, il piano è secante se \(0 < d < 6\).

Determinazione del valore di \(d\) affinché \(\pi\) divida la sfera in due parti uguali:

Il piano \(\pi\) divide la sfera in due parti uguali solo se contiene il centro della sfera. Questo significa che la distanza del centro dal piano deve essere zero (\(s=0\)).

\[ s = \frac{|d - 3|}{3} = 0 \] \[ |d - 3| = 0 \] \[ d - 3 = 0 \] \[ d = 3 \]

Pertanto, il piano \(\pi\) divide la sfera in due parti uguali quando \(d=3\).

Quesito 3

L’opera futurista di Boccioni “Forme uniche della continuità nello spazio” del 1913, riportata sulla moneta da 20 centesimi, descrive un uomo che avanza velocemente nello spazio. Una parte del profilo evidenziato in figura, in un opportuno sistema di riferimento, può essere approssimato dalla funzione

\[ f(x)= \begin{cases} -4x^2-8x, & -1 \le x \le 0 \\ 1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right), & 0 < x \le 2 \end{cases} \]

Tracciare il grafico di \(f\), dopo averne analizzato la continuità e la derivabilità nell’intervallo \([-1;2]\).

Soluzione quesito 3:

Analisi di continuità:

La funzione è definita a tratti:

\[ f(x)= \begin{cases} -4x^2-8x, & -1 \le x \le 0 \\ 1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right), & 0 < x \le 2 \end{cases} \]

Per \(x \in [-1, 0)\), \(f(x) = -4x^2-8x\) è una funzione polinomiale, quindi è continua e derivabile in questo intervallo.

Per \(x \in (0, 2]\), \(f(x) = 1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\). Per analizzare la continuità e derivabilità della funzione tangente, dobbiamo considerare gli argomenti che rendono la tangente indefinita, cioè \(x+\frac{3}{4}\pi = \frac{\pi}{2} + k\pi\), con \(k \in \mathbb{Z}\).

Consideriamo l'intervallo dell'argomento \(x+\frac{3}{4}\pi\) per \(x \in (0, 2]\):

\[ \frac{3}{4}\pi < x+\frac{3}{4}\pi \le 2+\frac{3}{4}\pi \]

Convertendo in valori numerici (approssimati):

\[ \frac{3}{4}\pi \approx 0.75 \times 3.14159 \approx 2.356 \] \[ 2+\frac{3}{4}\pi \approx 2 + 2.356 \approx 4.356 \]

I valori per cui la tangente non è definita (\(\frac{\pi}{2} + k\pi\)) sono:

Per \(k=0\): \(\frac{\pi}{2} \approx 1.57\) (non è nell'intervallo \((2.356, 4.356]\)).
Per \(k=1\): \(\frac{3}{2}\pi \approx 4.71\) (non è nell'intervallo \((2.356, 4.356]\)).

Poiché l'argomento \(x+\frac{3}{4}\pi\) non assume valori per cui la tangente è indefinita nell'intervallo \( (0, 2] \), la funzione \(1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\) è continua e derivabile in \( (0, 2] \).

Resta da analizzare il punto di raccordo \(x=0\).

Limite sinistro per \(x \to 0^-\): \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-4x^2 - 8x) = -4(0)^2 - 8(0) = 0 \]
Valore della funzione in \(x=0\): \[ f(0) = -4(0)^2 - 8(0) = 0 \]
Limite destro per \(x \to 0^+\): \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\right) = 1+\tan\left(0+\frac{3}{4}\pi\right) = 1+\tan\left(\frac{3}{4}\pi\right) = 1 + (-1) = 0 \]

Poiché \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0\), la funzione è continua nel punto \(x=0\).

In conclusione, la funzione \(f(x)\) è continua nell'intero intervallo \([-1, 2]\).

Analisi di derivabilità:

Calcoliamo la derivata prima \(f'(x)\) per i due tratti della funzione:

Per \(x \in [-1, 0)\): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-4x^2 - 8x) = -8x - 8 \]
Per \(x \in (0, 2]\): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\right) = \sec^2\left(x+\frac{3}{4}\pi\right) \]

L'unico punto critico per la derivabilità è il punto di raccordo \(x=0\).

Calcoliamo i limiti delle derivate da sinistra e da destra in \(x=0\):

Limite della derivata sinistra per \(x \to 0^-\): \[ \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (-8x - 8) = -8(0) - 8 = -8 \]
Limite della derivata destra per \(x \to 0^+\): \[ \lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} \sec^2\left(x+\frac{3}{4}\pi\right) = \sec^2\left(0+\frac{3}{4}\pi\right) = \sec^2\left(\frac{3}{4}\pi\right) \] Sappiamo che \(\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Quindi, \(\sec\left(\frac{3}{4}\pi\right) = \frac{1}{\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}\). \[ \lim_{x \to 0^+} f'(x) = (-\sqrt{2})^2 = 2 \]

Poiché il limite della derivata sinistra (\(-8\)) è diverso dal limite della derivata destra (\(2\)), la funzione non è derivabile in \(x=0\). In particolare, \(x=0\) è un **punto angoloso**.

Quindi la funzione \(f(x)\) è derivabile nell'intervallo \([-1, 2]\) eccetto in \(x=0\).

Tracciamento del grafico di \(f(x)\):

Il grafico della funzione è composto da due parti:

Per \(-1 \le x \le 0\), la funzione è \(f(x) = -4x^2-8x\). Questa è una parabola con concavità verso il basso, che interseca l'asse x in \(x=0\) e \(x=-2\). Il suo vertice si trova a \(x = -\frac{-8}{2(-4)} = -\frac{-8}{-8} = -1\). In \(x=-1\), \(f(-1) = -4(-1)^2 - 8(-1) = -4 + 8 = 4\). Quindi, in questo tratto è un arco di parabola con vertice in \((-1, 4)\) e che va dal punto \((-1, 4)\) al punto \((0, 0)\).
Per \(0 < x \le 2\), la funzione è \(f(x) = 1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\). Questo è un arco della funzione tangente, traslato orizzontalmente di \(\frac{3}{4}\pi\) verso sinistra e verticalmente di 1 unità verso l'alto.
- Quando \(x \to 0^+\), \(f(x) \to 0\), come visto per la continuità.
- Quando \(x = 2\), \(f(2) = 1+\tan\left(2+\frac{3}{4}\pi\right)\).

Osserviamo che \(\tan(x)\) ha un flesso in \((0,0)\). Siccome \(1+\tan(x+\frac{3}{4}\pi)\) la possiamo vedere come \(1+\tan(x-\frac{\pi}{4})\), che è \(\tan(x)\) traslata a destra di \(\frac{\pi}{4}\) ed in alto di 1, \(f(x)\) avrà un flesso in \((\frac{\pi}{4},1)\).

Grafico della funzione:

Quesito 4

Assegnata una funzione \(g\), derivabile in \(\mathbb{R}\) e tale che \(g\left(\frac{\pi}{4}\right)=g'\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\), determinare l’equazione della retta normale alla curva \(y=g(x) \sin^2 x\) nel suo punto di ascissa \(\frac{\pi}{4}\).

Soluzione quesito 4:

Sia la curva data \(y = h(x) = g(x) \sin^2 x\).

Per determinare l'equazione della retta normale alla curva in un punto, abbiamo bisogno delle coordinate del punto e del coefficiente angolare della retta normale in quel punto.

1. Coordinate del punto \(P\):

L'ascissa del punto è \(x_P = \frac{\pi}{4}\). L'ordinata \(y_P\) è data da \(h\left(\frac{\pi}{4}\right)\):

\[ y_P = g\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Sappiamo che \(g\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\) e \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Quindi \(\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

\[ y_P = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \]

Il punto \(P\) ha coordinate \(\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)\).

2. Coefficiente angolare della retta tangente:

Il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in \(P\) è dato dalla derivata \(h'(x)\) calcolata in \(x = \frac{\pi}{4}\).

Calcoliamo \(h'(x)\) usando la regola di derivazione del prodotto \((uv)' = u'v + uv'\), dove \(u=g(x)\) e \(v=\sin^2 x\):

\[ h'(x) = g'(x) \sin^2 x + g(x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^2 x) \]

La derivata di \(\sin^2 x\) è: \(\frac{d}{dx}(\sin^2 x) = 2 \sin x \cos x\).

\[ h'(x) = g'(x) \sin^2 x + g(x) \cdot 2 \sin x \cos x \]

Ora valutiamo \(h'\left(\frac{\pi}{4}\right)\):

\[ h'\left(\frac{\pi}{4}\right) = g'\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) + g\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Sappiamo che \(g'\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\), \(g\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\), \(\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\), \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) e \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Inoltre, \(2 \sin x \cos x = \sin(2x)\). Quindi \(2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\).

\[ h'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 \] \[ h'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 2 = 3 \]

Il coefficiente angolare della retta tangente è \(m_t = 3\).

3. Coefficiente angolare della retta normale:

La retta normale è perpendicolare alla retta tangente. Il suo coefficiente angolare \(m_n\) è l'antireciproco di \(m_t\):

\[ m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{3} \]

4. Equazione della retta normale:

Utilizziamo l'equazione di una retta passante per un punto \(P(x_P, y_P)\) con coefficiente angolare \(m_n\): \(y - y_P = m_n (x - x_P)\).

\[ y - 1 = -\frac{1}{3}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \]

Possiamo riscrivere l'equazione in diverse forme:

Moltiplichiamo per 3:

\[ 3(y - 1) = -(x - \frac{\pi}{4}) \] \[ 3y - 3 = -x + \frac{\pi}{4} \]

Portiamo tutti i termini a sinistra:

\[ x + 3y - 3 - \frac{\pi}{4} = 0 \]

Moltiplichiamo per 4 per eliminare la frazione:

\[ 4x + 12y - 12 - \pi = 0 \]

L'equazione della retta normale è \(4x + 12y - 12 - \pi = 0\).

Quesito 5

Determinare il valore del parametro reale \(k\) in modo che le due curve \(y=e^x\), \(y=6-k \cdot e^{-x}\) risultino tangenti tra loro, individuando le coordinate del punto di contatto.

Quesito 6

Scrivere una funzione polinomiale \(f\) in modo tale che la retta di equazione \(y=2x+3\) sia tangente al grafico di \(f\) nel suo punto di ascissa 0 e si abbia \(\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 9\).

Quesito 7

Siccome mi sembrava che per puro caso alcuni fatti fossero avvenuti così com’erano stati predetti dagl’indovini, tu hai parlato a lungo del caso, e hai detto, per esempio, che si può ottenere il “colpo di Venere” lanciando a caso quattro dadi […].

Cicerone, *De divinatione*, II, 21, 48 - traduzione e cura di S. Timpanaro, Garzanti, Milano 1999.

Testo originale - Nam cum mihi quaedam casu viderentur sic evenire ut praedicta essent a divinantibus, dixisti multa de casu, ut Venerium iaci posse casu quattuor talis iactis […].

Cicerone, nel dialogo con il fratello Quinto, parla del colpo di Venere, che consiste nel lanciare 4 dadi a 4 facce ottenendo 4 risultati diversi. Supponendo che le facce di ciascun dado siano equiprobabili, determinare:

la probabilità di ottenere il colpo di Venere nel lancio di 4 dadi;
la probabilità di ottenere 4 numeri tutti uguali.

Soluzione quesito 7:

Consideriamo il lancio di 4 dadi a 4 facce (si tratta di tetraedri regolari). Supponiamo che le facce di ciascun dado siano numerate da 1 a 4 e che siano equiprobabili.

Totale esiti possibili:

Ogni dado può mostrare 4 risultati. Poiché i lanci sono indipendenti e i dadi sono distinguibili, il numero totale di esiti possibili è dato da \(4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4\).

\[ \text{Numero totale di esiti} = 4^4 = 256 \]

1. Probabilità di ottenere il "colpo di Venere" (4 risultati diversi):

Il "colpo di Venere" si verifica quando i 4 dadi mostrano 4 risultati tutti diversi tra loro.

Calcoliamo il numero di esiti favorevoli:

Per il primo dado, ci sono 4 scelte possibili (es. 1, 2, 3 o 4).
Per il secondo dado, ci sono 3 scelte possibili (deve essere diverso dal primo).
Per il terzo dado, ci sono 2 scelte possibili (deve essere diverso dai primi due).
Per il quarto dado, c'è 1 scelta possibile (deve essere diverso dai primi tre).

Questo è equivalente al numero di permutazioni di 4 elementi distinti, cioè \(4!\).

\[ \text{Numero di esiti favorevoli (colpo di Venere)} = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

La probabilità di ottenere il colpo di Venere è data dal rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero totale di esiti:

\[ P(\text{Colpo di Venere}) = \frac{\text{Numero di esiti favorevoli}}{\text{Numero totale di esiti}} = \frac{24}{256} \]

Semplificando la frazione (dividendo per 8):

\[ P(\text{Colpo di Venere}) = \frac{3}{32} \]

2. Probabilità di ottenere 4 numeri tutti uguali:

Questo evento si verifica quando tutti e 4 i dadi mostrano lo stesso risultato.

Gli esiti favorevoli sono:

(1, 1, 1, 1)
(2, 2, 2, 2)
(3, 3, 3, 3)
(4, 4, 4, 4)

Quindi, il numero di esiti favorevoli è 4.

\[ \text{Numero di esiti favorevoli (4 uguali)} = 4 \]

La probabilità di ottenere 4 numeri tutti uguali è:

\[ P(\text{4 numeri uguali}) = \frac{\text{Numero di esiti favorevoli}}{\text{Numero totale di esiti}} = \frac{4}{256} \]

Semplificando la frazione (dividendo per 4):

\[ P(\text{4 numeri uguali}) = \frac{1}{64} \]

Quesito 8

Quanti sono gli anagrammi, anche senza significato, della parola “STUDIARE”? In quanti di tali anagrammi si può leggere consecutivamente la parola “ARTE”, come ad esempio in “SUARTEDI”?

Quanti sono gli anagrammi, anche senza significato, della parola “VACANZA”?