Maturità ordinaria 1994-95

(Sessione suppletiva)

l. Nel parallelepipedo rettangolo di vertici A, B, C, D, E, F, G, H le facce ABCD ed EFGH sono opposte e i segmenti AE, BF, CG sono spigoli. Inoltre:

AB = 3x, AD = 4x, AE = 2a - x,

essendo a una lunghezza nota e x una lunghezza incognita.

Chiamato P il piede della perpendicolare condotta da E alla retta FH, considerare il poliedro S avente per vertici i punti A, B, F, E, P.

Calcolare il valore di x che rende massimo il volume di S, il valore di a per il quale questo volume massimo è uguale a e, infine, per tale valore di a, l'area della superficie del solido S di volume massimo.

2. Studiare la funzione:

e disegnarne il grafico G in un piano riferito ad un sistema di assi cartesíani ortogonali Oxy. Verificato che G ha due flessi, F'e F", calcolare l'area del triangolo di vertici 0, F', F" .

Trovare i due interi consecutivi entro i quali è compresa quest'area.

Calcolare infine il volume del solido generato dal triangolo 0 F'F" quando ruota di un giro completo intorno all'asse x.

3. E assegnata l'equazione:

dove i coefficienti a, b, c sono numeri reali non negativi.

Determinare tali coefficienti sapendo che la parabola p, che rappresenta l'equazione in un piano cartesiano ortogonale Oxy, interseca l'asse x nei punti 0, A ed ha vertice nel punto V in modo che:

a) il triangolo OAV sia rettangolo,

b) il segmento parabolico individuato dalla corda OA generi un solido di volume , quando ruota di un giro completo attorno all'asse x.

Considerata poi la circonferenza tangente in A alla retta AV e passante per 0, calcolare le aree delle due regioni piane in cui essa divide il segmento parabolico suddetto.