Maturità ordinaria 1995-96

l. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (O xy ) sono

assegnate le parabole:

dove a è un numero reale positivo.

Tra di esse determinare la parabola p che, con la sua simmetrica q rispetto all'origine O,

delimita una regione di area 128/3.

Constatato che per la parabola p risulta a = 2, calcolare l'area del quadrilatero

convesso individuato dagli assi di riferimento e dalle tangenti alle due parabole p, q nel

loro punto comune di ascissa positiva.

Considerato infine il quadrilatero convesso avente per vertici i punti medi dei lati del quadrilatero precedente, dimostrare che si tratta di un parallelogramma e calcolarne l'area.

2. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva k di equazione

Dopo aver studiato la funzione

(dominio, eventuali zeri ed estremi, asintoti di k), disegnare l'andamento di k.

Indicata con t la tangente a k parallela all'asse delle ascisse distinta dall'asse stesso, calcolare l'area della regione piana delimitata da k e da t.

A completamente del problema, prendere in esame le due seguenti proposizioni:

• Una funzione reale di variabile reale non derivabile in un punto non è continua in quel punto.

• Una funzione reale di variabile reale non continua in un punto non è derivabile in quel punto.

Dire di ciascuna se è vera o falsa e fornire una esauriente giustificazione della risposta.

3. Considerato il rettangolo ABCD, il cui lato AD è lungo 8a, dove a è una lunghezza

nota, sia M il punto medio del lato AB. Sulla perpendicolare al piano del rettangolo condotta per M, prendere un punto V in modo che il piano del triangolo VCD formi col piano del rettangolo un angolo alfa tale che tg alfa =3/4.

Mostrare che la superficie laterale della piramide di vertice V e base ABCD è costituita da

due triangoli rettangoli e da due triangoli isosceli. Sapendo che l'area di tale superficie

laterale è 92a² calcolare la lunghezza di AB.

Constatato che tale lunghezza è 5a, condurre un piano sigma parallelo alla base della piramide

e proiettare ortogonalmente su tale base il poligono sezione di sigma con la piramide stessa,

ottenendo in questo modo un prisma retto. Determinare la posizione di sigma , per la quale il

volume di tale prisma risulta massimo.

A completamente del problema, dimostrare che se i numeri reali positivi x, y variano in

modo che la loro somma si mantenga costante allora il prodotto x ² y è massimo quando

risulta x = 2y.