Maturità ordinaria 1995-96
(Sessione suppletiva)
l. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione:
dove a, b sono parametri reali.
Trovare quale relazione lega questi parametri quando le curve considerate hanno un punto di massimo ed uno di minimo relativi e stabilire a quali altre condizioni devono soddisfare a e b affinché tali punti, quando esistono, abbiano ascisse dello stesso segno.
Tra le curve assegnate determinare la curva k avente gli estremi relativi nei punti A, B di ascisse 1 e 3 rispettivamente e disegnare l'andamento.
Calcolare infine l'area della regione piana delimitata dalla curva
k e dalla retta y = q, dove q è l'ordinata del punto B.
2. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani
ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione:
dove a, b , c sono numeri reali.
Determinare tra queste le due curve k1 e k2 che passano per l'origine e per il punto A (2, 0 ) e sono tangenti all'asse delle ascisse rispettivamente in 0 e in A.
Disegnare l'andamento di k 1 e di k2.
Considerata la regione piana R delimitata dagli archi k1 e k2 aventi gli estremi in 0 e in A, calcolarne l'area e trovare tra le sue corde parallele all'asse delle ordinate quella di lunghezza massima. Calcolare poi l'area del quadrilatero convesso avente per vertici gli estremi di questa corda e i punti O e A.
Verificare che le equazioni delle due curve k1 e k2 si trasformano una nell'altra con la sostituzione
ed esprimere questa proprietà in termini geometrici.
3. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, risulta:
dove a è una lunghezza nota.
Indicato con D un punto della semicirconferenza di diametro BC, non contenente A, esprimere l'area S del triangolo ABD in funzione dell'ampiezza x dell'angolo BAD.
Constatato che si ha:
studiare questa funzione e disegnarne l'andamento con riferimento alla questione geometrica.
Utilizzare il disegno ottenuto al fine di calcolare per quali valori di x l'area S risulta uguale a k a2, dove k è un parametro reale.
Determinare infine il perimetro del triangolo ABD per il quale
è massima l'area S.