Maturitā ordinaria 1996-97
(Sessione suppletiva)
l. Data l'equazione:
rappresentata in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali da parabole con asse parallelo all'asse y, determinare -in funzione del coefficiente a- i coefficienti b e c che individuano la famiglia delle parabole passanti per i punti A(1,1) e B(2,0).
Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei vertici delle parabole della famiglia .
Considerate le due parabole della famiglia aventi vertici rispettivamente in A e B, calcolare il rapporto tra l'area S della regione di piano racchiusa tra le due parabole e l'area R del quadrilatero determinato dalle tangenti in A e in B alle due parabole.
Calcolare il volume del solido che si ottiene ruotando attorno all'asse delle x la superficie delimitata oltre che dall'asse x stesso, dall'arco OA (essendo O l'origine degli assi cartesiani) della parabola e dall'arco AB della parabola .
2. Data una semicirconferenza di centro O e diametro si tracci la tangente t a detta semicirconferenza nel punto A.
Preso un punto P sulla semicirconferenza si tracci la perpendicolare PH alla retta t.
Dimostrare che la semiretta PA č bisettrice dell'angolo .
Posto esprimere in funzione di x l'area y del quadrilatero AOPH. Determinare per quale valore di x l'area y=f(x) č massima.
Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione della curva, che račppresenta la funzione y=f(x), attorno all'asse x sapendo che .
3. Due circonferenze concentriche di centro C hanno raggio rispettivamente eguale a x e a 1, con x<1.
Da un punto P di tracciare le tangenti a . Siano Q ed R i due punti di tangenza.
Determinare la funzione y=f(x) che rappresenta l'area del triangolo PQR in funzione di x.
Raprresentare in coordinate cartesiane ortogonali la funzione y=f(x).
Verificare che l'area y č massima per e dimostrare che in tal caso il triangolo PQR č equilatero.
Calcolare l'area della superficie di piano delimiatta dalla curva rappresentata dalla funzione y=f(x) e dall'asse x. [Si consiglia di integrare per sostituzione ponendo 1-x2=t2 ]