Maturità ordinaria 1996-97

(Sessione suppletiva)

l. Data l'equazione:

rappresentata in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali da parabole con asse parallelo all'asse y, determinare -in funzione del coefficiente a- i coefficienti b e c che individuano la famiglia delle parabole passanti per i punti A(1,1) e B(2,0).

Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei vertici delle parabole della famiglia .

Considerate le due parabole della famiglia aventi vertici rispettivamente in A e B, calcolare il rapporto tra l'area S della regione di piano racchiusa tra le due parabole e l'area R del quadrilatero determinato dalle tangenti in A e in B alle due parabole.

Calcolare il volume del solido che si ottiene ruotando attorno all'asse delle x la superficie delimitata oltre che dall'asse x stesso, dall'arco OA (essendo O l'origine degli assi cartesiani) della parabola e dall'arco AB della parabola .

2. Data una semicirconferenza di centro O e diametro si tracci la tangente t a detta semicirconferenza nel punto A.

Preso un punto P sulla semicirconferenza si tracci la perpendicolare PH alla retta t.

Dimostrare che la semiretta PA è bisettrice dell'angolo .

Posto esprimere in funzione di x l'area y del quadrilatero AOPH. Determinare per quale valore di x l'area y=f(x) è massima.

Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione della curva, che raèppresenta la funzione y=f(x), attorno all'asse x sapendo che .

3. Due circonferenze concentriche di centro C hanno raggio rispettivamente eguale a x e a 1, con x<1.

Da un punto P di tracciare le tangenti a . Siano Q ed R i due punti di tangenza.

Determinare la funzione y=f(x) che rappresenta l'area del triangolo PQR in funzione di x.

Raprresentare in coordinate cartesiane ortogonali la funzione y=f(x).

Verificare che l'area y è massima per e dimostrare che in tal caso il triangolo PQR è equilatero.

Calcolare l'area della superficie di piano delimiatta dalla curva rappresentata dalla funzione y=f(x) e dall'asse x. [Si consiglia di integrare per sostituzione ponendo 1-x²=t² ]