1. Data una semicirconferenza di centro O e di diametro AB = 2, si assuma su di essa un punto C in modo che l’angolo sia acuto. Indicata con j l’ampiezza di tale angolo, siano:

,

y = raggio della circonferenza tangente tanto al diametro quanto, nel punto C, alla semicirconferenza.

Dopo aver dimostrato che il centro di tale circonferenza appartiene al raggio OC, si studi e si rappresenti graficamente la funzione y = f(x) senza tenere conto delle limitazioni di natura geometrica poste ad x dal problema.

2. Si deve costruire un recipiente a forma di cilindro circolare retto che abbia una capacità di 16p cm³. Il candidato determini le dimensioni del recipiente che richiederanno la quantità minima di materiale.

Verificato che il cilindro cercato è quello equilatero, si determinino la superficie ed il volume della sfera ad esso circoscritta.

Considerate infine le formule:



che danno rispettivamente il volume di una sfera di raggio x e l’area di un cerchio sempre di raggio x se ne illustrino i risultati della derivazione rispetto a x.

3. L’informazione che si ha della parabola f(x) = ax² + bx + c è tutta concentrata nel punto di ascissa x = 5 ed è:

• determinata la parabola e detti A e B i suoi punti d’intersezione con l’asse x calcolare l’area del triangolo ABC ove con C si è denotato il punto d’incontro delle tangenti alla parabola in A e in B e stabilire il rapporto tra tale area e quella del segmento parabolico di base AB;

• stabilire altresì il rapporto tra i volumi descritti dalle aree prima considerate per effetto della loro rotazione completa attorno all’asse x.