Sessione straordinaria

Tema di MATEMATICA

È assegnata la seguente equazione in x:

x³ + 2 x - 50 = 0 .

a) Dimostrare che ammette una ed una sola soluzione nel campo reale.

b) Determinare il numero intero z tale che risulti: z < < z + 1 .

c) Dopo aver riferito il piano ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), determinare, se esistono, i valori del parametro reale k (k¹ -1) per cui la curva C_k di equazione:

y = (x³ + 2 x - 50) + k (x³ + 2 x - 75)

ammette un massimo e un minimo relativi.

d) Stabilire se esiste un valore di k per cui la curva è simmetrica rispetto all'origine O.

e) Stabilire se fra le rette di equazione y=5x+m, dove m è un parametro reale, ve ne sono di tangenti alla curva C₀ ottenuta per k=0.

La base minore, la base maggiore e il perimetro di un trapezio isoscele misurano nell’ordine:

6 cm , 10 cm , 4 cm .

a) Dire, giustificando la risposta, se il trapezio è circoscrittibile ad una circonferenza.

b) Spiegare perché il trapezio è inscrittibile in una circonferenza k.

c) Dopo aver riferito il piano del trapezio ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali, trovare l’equazione di k.

d) Trovare l’equazione della parabola p passante per gli estremi della base minore del trapezio e avente l’asse perpendicolare a tale base e il vertice nel centro di k.

e) Calcolare le aree delle regioni piane il cui la parabola p divide il trapezio.

f) Calcolare le aree delle regioni piane in cui la parabola p divide il cerchio delimitato da k.

1) Nell'insieme delle rette dello spazio si consideri la relazione così definita: «due rette si dicono parallele se sono complanari e non hanno punti comuni». Dire se è vero o falso che gode della proprietà transitiva e fornire un'esauriente spiegazione della risposta.

2) In un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione:

8 x² + 8 y² – 4 k x + 8 y – 3 k = 0 ,

dove k è un parametro reale. Calcolare per quali valori di k il luogo è costituito da:

1) un punto; 2) due punti; 3) infiniti punti; 4) nessun punto.

3) Dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinché un trapezio rettangolo abbia le diagonali perpendicolari è che le misure della base minore, dell’altezza e della base maggiore, prese nell’ordine e considerate rispetto alla stessa unità di misura, siano numeri in progressione geometrica.

4) Dire se è vero che risulta: per ogni x reale e giustificare la risposta.

5) Si consideri la funzione polinomiale in x:

y = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ .

Dimostrare che il suo grafico, rappresentato in un piano cartesiano, ha come tangente nel punto di ascissa 0 la retta di equazione y = a₀ + a₁ x .

6) Si consideri la successione di termine generale a_n tale che:

.

Calcolare a₁₀₀ .

7) Considerata la successione di termine generale:

,

calcolare .

8) Considerata la funzione f(x) tale che:

f(x) = ,   con x > 0 ,

              determinare i suoi zeri e gli intervalli in cui cresce o decresce.

9) Come si sa, la parte di sfera compresa fra due piani paralleli che la secano si chiama segmento sferico a due basi. Indicati con ed i raggi delle due basi del segmento sferico e con h la sua altezza (distanza tra le basi), dimostrare che il volume V del segmento sferico considerato è dato dalla seguente formula:

.

              Qualunque sia il metodo seguito per la dimostrazione, esplicitare ciò che si ammette.

10) Calcolare il seguente limite:

,

               essendo e la base dei logaritmi naturali.

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