Tema di MATEMATICA

È assegnata la seguente equazione in x:

x³ + 2 x - 50 = 0 , con x Î Â .

a) Dimostrare che ammette una ed una sola soluzione .

b) Determinare il numero intero z tale che risulti: z < < z + 1 .

c) Scrivere un algoritmo idoneo a calcolare un valore approssimato di a meno di 10^-4.

d) Dopo aver riferito il piano ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), determinare, se esistono, i valori del parametro reale k (k¹ -1) per cui la curva C_k di equazione:

y = (x³ + 2 x - 50) + k (x³ + 2 x - 75)

ammette un massimo e un minimo relativi.

e) Stabilire se esiste un valore di k per cui la curva è simmetrica rispetto all'origine O.

Un gruppo di persone è costituito da 3 uomini e dalle rispettive mogli. Ciascun uomo sceglie a caso una fra le 3 donne, con uguali possibilità di scelta, per un giro di ballo.

a) Calcolare quante sono le possibili terne di coppie di ballerini.

b) Calcolare la probabilità che:

1) nessun uomo balli con la propria moglie,

2) un solo uomo balli con la propria moglie,

3) tutti e tre gli uomini ballino con le rispettive mogli.

c) Il gioco viene effettuato per n volte. Calcolare:

1) per n=24, il numero medio di volte in cui tutti e tre gli uomini ballano con le rispettive mogli;

2) per n=4, la probabilità che non più di 2 volte capiti che nessun uomo balli con la propria moglie;

3) per n=60, la probabilità che esattamente 30 volte capiti che un solo uomo balli con la propria moglie;

4) per n=15, la probabilità che almeno 14 volte capiti che almeno un uomo balli con la propria moglie.

N.B.: Per l'uso che il candidato, se crede, ne può fare, si forniscono le formule della probabilità binomiale e della distribuzione normale:

, () .

1) Nell'insieme delle rette dello spazio si consideri la relazione così definita: «due rette si dicono parallele se sono complanari e non hanno punti comuni». Dire se è vero o falso che gode della proprietà transitiva e fornire un'esauriente spiegazione della risposta.

2)In un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione:

8 x² + 8 y² – 4 k x + 8 y – 3 k = 0 ,

dove k è un parametro reale. Calcolare per quali valori di k il luogo è costituito da:

1) un punto; 2) due punti; 3) infiniti punti; 4) nessun punto.

3) In un piano sono date due circonferenze non congruenti, l'una esterna all'altra. Di omotetie che trasformano la minore nella maggiore ve ne sono:

A) nessuna;

B) una sola;

C) due soltanto;

D) infinite.

Una sola alternativa è corretta: individuarla e motivare in maniera esauriente la scelta operata.

4) In un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata l'affinità (A) di equazioni:

x = - 2 X + 3 Y , y = X - 2 Y .

Calcolare l'area della figura trasformata di un cerchio di raggio 1 secondo l'affinità (A).

5)Considerata la successione di termine generale:

a_n = n (n+1) (2n+1) ,

scriverla in forma ricorsiva.

6) Scrivere un algoritmo che generi i primi 20 numeri della successione di cui al precedente quesito 5 e li comunichi sotto forma di matrice di 4 righe e 5 colonne.

7)Considerata la successione di termine generale:

calcolare .

8) Considerata la funzione f(x) tale che:

f(x) = , con x > 0 ,

determinare i suoi zeri e gli intervalli in cui cresce o decresce.

9) Come si sa, la parte di sfera compresa fra due piani paralleli che la secano si chiama segmento sferico a due basi. Indicati con ed i raggi delle due basi del segmento sferico e con h la sua altezza (distanza tra le basi), dimostrare che il volume V del segmento sferico considerato è dato dalla seguente formula:

.

Qualunque sia il metodo seguito per la dimostrazione, esplicitare ciò che si ammette.

10) Calcolare il seguente limite:

,

essendo e la base dei logaritmi naturali.

___________________________