ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
a.s. 2002/2003
Sessione Ordinaria
CORSO SPERIMENTALE
Tema di MATEMATICA
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti proposti nel questionario.
PROBLEMA 1
Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA = a, la retta t tangente a g in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g , il punto C intersezione di r con t.
La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s’intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geometrico G noto con il nome di versiera di Agnesi [ da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-1799)].
Si provi che valgono le seguenti proporzioni: |
OD : DB = OA : DP
OC : DP = DP : BC
ove D è la proiezione ortogonale di B su OA; Si verifichi che, con una opportuna scelta
del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche Oxy ,
l’equazione cartesiana di G è: Si tracci il grafico di G e si provi che l’area compresa fra G e il suo asintoto è quattro volte quella del cerchio g .
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PROBLEMA 2
Nel piano, riferito ad assi cartesiani ortogonali e monometrici Oxy , è dato il rettangolo OABC con i vertici A e C di coordinate rispettive (2, 0) e (0, 1). Sia P un punto sul lato OA.
Si determini la posizione di P che
massimizza l’angolo Si descrivano i luoghi geometrici F e G dei
punti del piano che vedono il lato CB sotto angoli costanti di ampiezze rispettive
d e Si calcoli l’area della regione finita di piano racchiusa tra F e G .
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QUESTIONARIO
1. Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre? 2. Quale è la capacità massima, espressa in centilitri, di un cono di apotema 2 dm? 3. Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte. 4. Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese, (1652-1719)], che se l’equazione : |
ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell’equazione : |
5. Si vuole che l’equazione 6. Dare un esempio di solido il cui volume
è dato da 7. Di una funzione f(x) si sa che ha
derivata seconda uguale a senx e che Quanto vale 8. Verificare che l’equazione 9. Dopo aver illustrato il significato di
funzione periodica dare un esempio di funzione trigonometrica di periodo 10. Perché "geometria non euclidea"? Che cosa viene negato della geometria euclidea?
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Durata massima della prova : 6 ore
E’ consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile e la consultazione del vocabolario d’Italiano.
; 
. Si calcoli tale valore massimo e lo si indichi con d . 
abbia tre
radici reali. Quale è un possibile valore di b? 
.
.
ammette tre
radici reali. Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli
un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.