ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
a.s. 2002/2003
Sessione Ordinaria
CORSO SPERIMENTALE
Tema di MATEMATICA
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti proposti nel questionario.
PROBLEMA 1
Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA = a, la retta t tangente a g in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g , il punto C intersezione di r con t.
La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s’intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geometrico G noto con il nome di versiera di Agnesi [ da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-1799)].
Si provi che valgono le seguenti proporzioni: |
OD : DB = OA : DP
OC : DP = DP : BC
ove D è la proiezione ortogonale di B su OA; Si verifichi che, con una
opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche Oxy
, l’equazione cartesiana di G è: Si tracci il grafico di G e si provi che l’area compresa fra G e il suo asintoto è quattro volte quella del cerchio g .
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PROBLEMA 2
Nel piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali e monometrici Oxy , è dato il rettangolo OABC con i vertici A e C di coordinate rispettive (2, 0) e (0, 1). Sia P un punto sul lato OA.
Si determini la
posizione di P che massimizza l’angolo Si descrivano i luoghi
geometrici F e G dei punti del piano che vedono il lato CB sotto angoli costanti di
ampiezze rispettive d e Si calcoli l’area della regione finita di piano racchiusa tra F e G .
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QUESTIONARIO
1. Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre? 2. Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose. A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose. Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità che essa sia difettosa? 3. Quale è la capacità massima, espressa in centilitri, di un cono di apotema 2 dm? 4. Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte. 5. Si vuole che
l’equazione 6. Dare un esempio di solido
il cui volume è dato da 7. Di una funzione f(x) si
sa che ha derivata seconda uguale a senx e che Quanto vale 8. Dopo aver illustrato il
significato di funzione periodica dare un esempio di funzione trigonometrica di periodo |
9. Perché "geometria non euclidea"? Che cosa viene negato della geometria euclidea? 10. Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese, (1652-1719)], che se l’equazione : |
ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell’equazione : |
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Durata massima della prova : 6 ore
E’ consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile e la consultazione del vocabolario d’Italiano.
; 
. Si calcoli tale valore massimo e lo si
indichi con d . 
. 
.
