Soluzione del punto a

Condizione di asintoto verticale in \(x = \frac{1}{2}\)

Affinché la retta \(x = \frac{1}{2}\) sia un asintoto verticale, è necessario che il denominatore si annulli in questo punto, e che il numeratore sia diverso da zero. Poiché il quesito richiede di determinare i parametri affinché \(x = \frac{1}{2}\) sia l'asintoto verticale, ci concentriamo sulla condizione di annullamento del denominatore.

Poniamo il denominatore uguale a zero per \(x = \frac{1}{2}\):

\[c\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 0\] \[\frac{c}{2} = 1 \implies c = 2\]

Il valore del parametro è quindi \(c=2\).

Sostituendo \(c=2\), l'espressione della funzione diventa:

\[\displaystyle f(x)=\frac{2x^2+ax+b}{2x-1}\]

Condizione di passaggio per il punto \(P=(\frac{3}{2}, 3)\)

L'equazione dell'asintoto obliquo è \(y = mx+q\).

Calcoliamo il coefficiente angolare \(m\) come limite per \(x \to \pm \infty\) del rapporto \(\frac{f(x)}{x}\):

\[m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2+ax+b}{x(2x-1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2}{2x^2} = 1\]

Quindi l'asintoto obliquo ha equazione del tipo \(y = x + q\).

Imponiamo che questa retta contenga il punto \(P=(\frac{3}{2}, 3)\):

\[3 = \frac{3}{2} + q \implies q = 3 - \frac{3}{2} \implies q = \frac{3}{2}\]

L'equazione dell'asintoto obliquo è quindi: \[y = x + \frac{3}{2}\]

Calcoliamo ora l'intercetta \(q\) utilizzando la formula del limite, \(q = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x)-mx]\):

\[q = \lim_{x \to \pm\infty} \left[\frac{2x^2+ax+b}{2x-1} - x\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2+ax+b - x(2x-1)}{2x-1}\] \[q = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2+ax+b - 2x^2+x}{2x-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{(a+1)x+b}{2x-1}\]

Poiché il limite deve essere finito e i gradi del numeratore e del denominatore sono uguali, \(q\) è dato dal rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo:

\[q = \frac{a+1}{2}\]

Uguagliamo questo risultato con il valore di \(q\) trovato precedentemente, \(\frac{3}{2}\):

\[\frac{a+1}{2} = \frac{3}{2} \implies a+1 = 3 \implies a = 2\]

Il valore del parametro è quindi \(a=2\).

Condizione sulla retta tangente e passaggio per \(Q=(2, 3)\)

Sostituendo \(a=2\) e \(c=2\) nella funzione, otteniamo:

\[f(x) = \frac{2x^2+2x+b}{2x-1}\]

Il punto di tangenza \(A\) ha ascissa \(x_0 = -1\). Calcoliamo l'ordinata \(y_0\) e la derivata \(f'(x_0)\) in questo punto.

L'ordinata del punto \(A\) è:

\[y_0 = f(-1) = \frac{2(-1)^2+2(-1)+b}{2(-1)-1} = \frac{2-2+b}{-3} = -\frac{b}{3}\] \[A = \left(-1, -\frac{b}{3}\right)\]

Calcoliamo la derivata prima \(f'(x)\) (regola del quoziente):

\[f'(x) = \frac{(4x+2)(2x-1) - (2x^2+2x+b)(2)}{(2x-1)^2}\]

Calcoliamo il coefficiente angolare \(m\) per \(x = -1\):

\[m = f'(-1) = \frac{(4(-1)+2)(2(-1)-1) - (2(-1)^2+2(-1)+b)(2)}{(2(-1)-1)^2}\] \[m = \frac{(-4+2)(-2-1) - (2-2+b)(2)}{(-3)^2} = \frac{(-2)(-3) - 2b}{9} = \frac{6-2b}{9}\]

L'equazione della retta tangente \(t\) nel punto \(A(-1, -b/3)\) è:

\[y - y_0 = m(x - x_0)\] \[y - \left(-\frac{b}{3}\right) = \frac{6-2b}{9}(x - (-1))\] \[y + \frac{b}{3} = \frac{6-2b}{9}(x + 1)\]

Imponiamo che la retta \(t\) contenga il punto \(Q(2, 3)\):

\[3 + \frac{b}{3} = \frac{6-2b}{9}(2 + 1)\] \[3 + \frac{b}{3} = \frac{6-2b}{3}\]

Moltiplichiamo tutta l'equazione per 3:

\[9 + b = 6 - 2b\] \[b + 2b = 6 - 9\] \[3b = -3 \implies b = -1\]

Conclusione

I valori dei parametri richiesti sono: \(a=2\), \(b=-1\) e \(c=2\).

La funzione ottenuta è:

\[\displaystyle f(x)=\frac{2x^2+2x-1}{2x-1}\]

Soluzione del punto b

Studio della funzione:

La funzione da studiare è \[\displaystyle f(x) = \frac{2x^2+2x-1}{2x-1}\]

Osservazione preliminare: Riscrivendo la funzione nella forma \(F(x,y)=0\), otteniamo l'equazione \(2x^2 - 2xy + 2x + y - 1 = 0\). Il discriminante della conica è \(\Delta = B^2 - 4AC = (-2)^2 - 4(2)(0) = 4 > 0\). Poiché \(\Delta > 0\), questa equazione rappresenta un'iperbole. La presenza di un asintoto obliquo e di un asintoto verticale conferma la sua natura.

Dominio:

Il denominatore deve essere diverso da zero: \(2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}\).
Il dominio è \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}\).

Intersezioni con gli assi cartesiani:

• Asse y (x=0): \(f(0) = \frac{-1}{-1} = 1\). Intersezione in \((0, 1)\).
• Asse x (f(x)=0): \(2x^2+2x-1 = 0\). Le soluzioni sono \(x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}\).
  Intersezioni in \(\left(\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}, 0\right)\) e \(\left(\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}, 0\right)\).

Simmetria (Pari/Dispari):

Il dominio non è simmetrico rispetto all'origine, quindi la funzione non è né pari né dispari.

Segno della funzione \(f(x) > 0\):

La funzione è positiva quando numeratore (\(N\)) e denominatore (\(D\)) hanno lo stesso segno. Studiamo separatamente il segno dei due termini.

• Numeratore \(N = 2x^2+2x-1\): Le radici sono \(x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}\). Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, \(N > 0\) per \(x < \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}\) oppure \(x > \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}\).
• Denominatore \(D = 2x-1\): \(D > 0\) per \(x > \frac{1}{2}\).

Riportiamo i segni sulla seguente tabella (i punti critici, in ordine, sono \(x_1 \approx -1.366\), \(x_2 \approx 0.366\), e \(x_A = 0.5\)):

Intervallo	\(x < \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{-1 - \sqrt{3}}{2} < x < \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{-1 + \sqrt{3}}{2} < x < \frac{1}{2}\)	\(x > \frac{1}{2}\)
Numeratore (\(N\))	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
Denominatore (\(D\))	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
Segno \(f(x)\) (\(N/D\))	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)

Limiti e Asintoti:

La funzione ha dominio \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}\). Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.

Asintoto Verticale (AV) in \(x = \frac{1}{2}\)

Come verificato nel punto a), la retta \(x = \frac{1}{2}\) è l'Asintoto Verticale.

• Limite da sinistra (\(x \to \frac{1}{2}^-\)): \[\lim_{x \to \frac{1}{2}^-} f(x) = -\infty\]
• Limite da destra (\(x \to \frac{1}{2}^+\)): \[\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} f(x) = +\infty\]

Asintoto Obliquo (AO) per \(x \to \pm \infty\)

Come determinato nel punto a), l'equazione dell'asintoto obliquo è:

\[y = x + \frac{3}{2}\]

Non ci sono asintoti orizzontali, poiché \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\).

Studio della derivata prima (Monotonia):

Calcoliamo la derivata prima \(f'(x)\):

\[f'(x) = \frac{4x^2-4x}{(2x-1)^2} = \frac{4x(x-1)}{(2x-1)^2}\]

Studiamo il segno di \(f'(x) > 0\). Il numeratore è positivo per \(x < 0\) oppure \(x > 1\).

• La funzione cresce in \((-\infty, 0)\) e in \((1, +\infty)\).
• La funzione decresce in \((0, \frac{1}{2})\) e in \((\frac{1}{2}, 1)\).

Punti di estremo:

• In \(x=0\) si ha un punto di Massimo Relativo con \(f(0)=1\). Punto: \((0, 1)\).
• In \(x=1\) si ha un punto di Minimo Relativo con \(f(1)=3\). Punto: \((1, 3)\).

Calcolo della derivata seconda (Concavità e Flessi):

Ricalcoliamo la derivata seconda a partire dalla derivata prima \(f'(x) = \frac{4x^2-4x}{(2x-1)^2}\):

\[f''(x) = \frac{(8x-4)(2x-1)^2 - (4x^2-4x) \cdot 4(2x-1)}{(2x-1)^4}\]

Semplificando e raccogliendo \(4(2x-1)\) al numeratore, si ottiene:

\[f''(x) = \frac{4}{(2x-1)^3}\]

Studiamo il segno di \(f''(x)\): esso dipende unicamente dal denominatore \( (2x-1)^3 \), che ha lo stesso segno di \(2x-1\).

• Concavità verso il basso (Concava): \(f''(x) < 0\) per \(2x-1 < 0 \implies x < \frac{1}{2}\). Intervallo: \(\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)\).
• Concavità verso l'alto (Convessa): \(f''(x) > 0\) per \(2x-1 > 0 \implies x > \frac{1}{2}\). Intervallo: \(\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)\).

Il cambio di concavità avviene solo in corrispondenza dell'asintoto verticale \(x = \frac{1}{2}\). Pertanto, la funzione non presenta punti di flesso.

Grafico della funzione:

Il grafico \(\gamma\) della funzione è quindi il seguente:

       

Soluzione del punto c

       

Il rettangolo è inscritto nella regione delimitata dal ramo di curva \(\gamma\) in cui \(f(x) \ge 0\) e \(x < \frac{1}{2}\). Sia \(k\) l'altezza del rettangolo, con \(0 \le k \le 1\).

       

1. Intersezione \(\gamma\) con la retta \(y=k\) e vertici del rettangolo

       

Cerchiamo le ascisse dei vertici superiori \(E\) e \(D\) intersecando \(f(x)\) con la retta \(y=k\):

        \[k = \frac{2x^2+2x-1}{2x-1}\]        

Questa equazione si riscrive in forma canonica:

        \[2x^2 + (2-2k)x + (k-1) = 0\]        

Risolviamo per \(x\) (le ascisse \(x_E\) e \(x_D\)):

        \[x_{1,2} = \frac{-(2-2k) \pm \sqrt{(2-2k)^2 - 4(2)(k-1)}}{4} = \frac{2k - 2 \pm 2\sqrt{k^2 - 4k + 3}}{4}\]        

Le due ascisse sono:

        \[x_E = x_1 = \frac{k - 1 - \sqrt{k^2 - 4k + 3}}{2}\]         \[x_D = x_2 = \frac{k - 1 + \sqrt{k^2 - 4k + 3}}{2}\]        

I vertici del rettangolo \(BCDE\) sono quindi \(E = \left(x_1, k\right), D = \left(x_2, k\right), B = \left(x_1, 0\right), C = \left(x_2, 0\right)\).

       

2. Funzione Area \(A(k)\)

       

La larghezza è \(b = x_D - x_E = \sqrt{k^2 - 4k + 3}\). La funzione Area è:

        \[A(k) = k \sqrt{k^2 - 4k + 3}\]        

3. Massimizzazione e Studio del Segno

       

Massimizziamo \(G(k) = A^2(k) = k^4 - 4k^3 + 3k^2\) per \(k \in [0, 1]\). La derivata è:

        \[G'(k) = 4k^3 - 12k^2 + 6k = 2k(2k^2 - 6k + 3)\]        

Studiamo il segno di \(G'(k)\) nell'intervallo \([0, 1]\):

Poiché \(k \ge 0\) e stiamo considerando l'intervallo \([0, 1]\), il segno di \(G'(k)\) per \(k \in [0, 1]\) dipende solo dal fattore \(2k^2 - 6k + 3\).  Le radici di questo trinomio sono \(k = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\) e \(k = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} > 1\).

Il trinomio  è positivo all'esterno delle radici. Pertanto, nell'intervallo \([0, 1]\):

           

• \(G'(k) > 0\) per \(k \in \left(0, \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)\) \(\implies\) \(A(k)\) è crescente.
• \(G'(k) < 0\) per \(k \in \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}, 1\right)\) \(\implies\) \(A(k)\) è decrescente.

       

Quindi, il punto \(k_{max} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\) è il punto di massimo assoluto per l'area.

                

4. Area Massima

       

Il rettangolo di area massima ha altezza \(k_{max}\) e base \(b_{max} = x_D - x_E = \sqrt{k^2 - 4k + 3}= \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\). L'area massima è:

        \[A_{max} = k_{max} \cdot b_{max} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{6\sqrt{3} - 9} \approx 0.385\]            

           

Soluzione del punto d

                        

Rappresentiamo graficamente la regione richiesta \(R_k\):

                       

L'asintoto obliquo, che indichiamo con \(r(x)\), ha equazione:

            \[r(x)=x+\frac{3}{2}\]            

L'area richiesta \(Area(R_k)\) è data da:

            \[Area(R_k) = \int_{k}^{k^2} [f(x) - r(x)] dx\]                         

1. Calcolo della Funzione Integranda

           

Svolgiamo la sottrazione \(f(x) - r(x)\) per trovare la funzione integranda:

            \[\frac{2x^2+2x-1}{2x-1} - \left(x+\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2(2x-1)}\]            

2. Ricerca di una Primitiva

           

Cerchiamo una primitiva \(G(x)\) di \(g(x) = \frac{1}{2(2x-1)}\). Per ottenere la derivata del denominatore (\(2\)), moltiplichiamo e dividiamo per \(2\):

            \[G(x) = \frac{1}{4} \int \frac{2}{2x-1} dx\]             \[G(x) = \frac{1}{4} \ln|2x-1| + C\]            

Poiché stiamo integrando per \(x > k > 1\), si ha \(2x-1 > 0\) e possiamo scrivere \(G(x) = \frac{1}{4} \ln(2x-1)\).

           

3. Calcolo dell'Area \(R_k\) mediante il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

           

Calcoliamo l'integrale definito, applicando il teorema:

            \[Area(R_k) = \left[ \frac{1}{4} \ln(2x-1) \right]_{k}^{k^2}\]

Sostituendo gli estremi di integrazione:

            \[Area(R_k) = \frac{1}{4} \left( \ln(2k^2-1) - \ln(2k-1) \right)\]

Utilizzando la proprietà dei logaritmi \(\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)\):

            \[Area(R_k) = \frac{1}{4} \ln\left( \frac{2k^2 - 1}{2k - 1} \right)\]            

4. Determinazione del Valore di \(k\)

           

Imponiamo la condizione che l'area sia \(\frac{1}{4} \ln\left(\frac{17}{5}\right)\). Troviamo \(k\) risolvendo l'equazione algebrica:

            \[\frac{2k^2 - 1}{2k - 1} = \frac{17}{5}\]             \[5k^2 - 17k + 6 = 0\]            

Le soluzioni dell'equazione sono \(k_1 = \frac{2}{5}\) e \(k_2 = 3\).

           

Poiché la condizione del problema è \(k > 1\), la sola soluzione accettabile è \(k=3\).