Soluzione del punto a

Determinazione dei parametri dal grafico

Dal grafico \(\gamma\) possiamo ricavare le seguenti informazioni:

Primo tratto: \(f(x) = a \sin(\pi b x)\) per \(0 \le x \le 1\)

Dal grafico si osserva che:

• Il punto \(A = (0, 0)\) appartiene al grafico
• Il punto \(B = (1, 0)\) appartiene al grafico
• Il punto di massimo \(P_1\) si trova in \(x = \frac{1}{4}\)

Determinazione di \(b\):

Il periodo della funzione \(a \sin(\pi b x)\) nel primo tratto è 1 (la funzione parte da 0 in \(x=0\) e torna a 0 in \(x=1\) completando mezzo periodo di oscillazione).

Il periodo di \(\sin(nx)\) è \(\frac{2\pi}{n}\), quindi il periodo di \(a \sin(\pi b x)\) è:

\[T = \frac{2\pi}{\pi b} = \frac{2}{b}\]

Poiché la funzione completa mezzo periodo nell'intervallo \([0,1]\), abbiamo:

\[\frac{T}{2} = 1 \implies \frac{2}{2b} = 1 \implies \frac{1}{b} = 1 \implies b = 2\]

Determinazione di \(a\):

Il primo tratto è quindi \(f(x) = a \sin(2\pi x)\). Il massimo si raggiunge quando \(2\pi x = \frac{\pi}{2}\), cioè in \(x = \frac{1}{4}\).

Dal grafico, l'ordinata del punto di massimo \(P_1\) sembra essere \(\frac{1}{2}\). Anche se dalla quadrettatura non possiamo essere assolutamente certi di questo valore, assumiamo come valore possibile:

\[a = \frac{1}{2}\]

Secondo tratto: \(f(x) = c + d \cos(\pi x)\) per \(1 < x \le 3\)

Dal grafico si osserva che:

• Il punto \(D = (3, 0)\) appartiene al grafico
• Il punto di minimo \(R_2\) si trova in \(x = 2\) con ordinata \(-1\)

Imponiamo le condizioni:

Per \(x = 3\):

\[f(3) = c + d \cos(3\pi) = c + d(-1) = c - d = 0\]

Per \(x = 2\) (punto di minimo):

\[f(2) = c + d \cos(2\pi) = c + d(1) = c + d = -1\]

Risolviamo il sistema:

\[\begin{cases} c - d = 0 \\ c + d = -1 \end{cases}\]

Dalla prima equazione: \(c = d\)

Sostituendo nella seconda equazione:

\[c + c = -1 \implies 2c = -1 \implies c = -\frac{1}{2}\]

Quindi: \(d = c = -\frac{1}{2}\)

Periodo T

Il periodo della funzione è \(T = 3\), come si può osservare dal grafico: la funzione completa un ciclo completo nell'intervallo \([0, 3]\).

Calcolo di \(f(2025)\) e \(f\left(\frac{121}{4}\right)\)

Poiché la funzione ha periodo \(T = 3\), possiamo ricondurre qualsiasi valore al periodo fondamentale usando la relazione \(f(x + 3k) = f(x)\) per ogni intero \(k\).

Calcolo di \(f(2025)\):

\[2025 = 675 \times 3 + 0\]

Quindi \(f(2025) = f(0) = \frac{1}{2} \sin(0) = 0\)

Calcolo di \(f\left(\frac{121}{4}\right)\):

\[\frac{121}{4} = 30.25 = 10 \times 3 + 0.25 = 10 \times 3 + \frac{1}{4}\]

Quindi \(f\left(\frac{121}{4}\right) = f\left(\frac{1}{4}\right)\). Poiché \(0 \le \frac{1}{4} \le 1\), usiamo la prima espressione:

\[f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \sin\left(2\pi \cdot \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}\]

Conclusione

I valori (possibili) dei parametri sono: \(a = \frac{1}{2}\), \(b = 2\), \(c = -\frac{1}{2}\), \(d = -\frac{1}{2}\)

Il periodo è: \(T = 3\)

\(f(2025) = 0\)

\(f\left(\frac{121}{4}\right) = \frac{1}{2}\)

Soluzione del punto b

Studio della derivabilità della funzione

La funzione è definita nell'intervallo \([0, 3]\) ed è data da:

\[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} \sin(2\pi x) & 0 \le x \le 1 \\ -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(\pi x) & 1 < x \le 3 \end{cases}\]

Derivabilità nei punti interni degli intervalli

Nei punti interni di ciascun intervallo, la funzione è derivabile in quanto composizione di funzioni derivabili:

• Per \(0 < x < 1\): \(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \cos(2\pi x) = \pi \cos(2\pi x)\)
• Per \(1 < x < 3\): \(f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot (-\pi) \sin(\pi x) = \frac{\pi}{2} \sin(\pi x)\)

Derivabilità in \(x = 1\) (punto di raccordo)

Dobbiamo verificare se la funzione è derivabile in \(x = 1\), studiando le derivate destra e sinistra.

Continuità in \(x = 1\):

Verifichiamo prima la continuità:

\[\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{1}{2} \sin(2\pi) = 0\] \[\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(\pi) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(-1) = 0\] \[f(1) = \frac{1}{2} \sin(2\pi) = 0\]

La funzione è continua in \(x = 1\).

Derivata sinistra in \(x = 1\):

\[f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^-} \pi \cos(2\pi x) = \pi \cos(2\pi) = \pi\]

Derivata destra in \(x = 1\):

\[f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{\pi}{2} \sin(\pi x) = \frac{\pi}{2} \sin(\pi) = 0\]

Poiché \(f'_-(1) = \pi \neq 0 = f'_+(1)\), la funzione non è derivabile in \(x = 1\).

In \(x = 1\) la funzione presenta un punto angoloso.

Derivabilità in \(x = 0\) e \(x = 3\) (estremi del dominio)

Agli estremi del dominio \([0, 3]\), possiamo calcolare le derivate unilaterali:

• In \(x = 0\): \(f'_+(0) = \pi \cos(0) = \pi\) (derivabile da destra)
• In \(x = 3\): \(f'_-(3) = \frac{\pi}{2} \sin(3\pi) = 0\) (derivabile da sinistra)

Conclusione sulla derivabilità

La funzione \(f\) è derivabile in \([0, 3] \setminus \{1\}\). In \(x = 1\) la funzione non è derivabile (punto angoloso).

Applicabilità del teorema di Rolle nell'intervallo \([1; 3]\)

Il teorema di Rolle afferma che se una funzione \(f\):

• è continua in \([a, b]\)
• è derivabile in \((a, b)\)
• verifica \(f(a) = f(b)\)

allora esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che \(f'(c) = 0\).

Verifica delle ipotesi per \([1; 3]\):

1. Continuità in \([1; 3]\): La funzione è continua in tutto l'intervallo \([1; 3]\) (abbiamo verificato la continuità in \(x = 1\)). ✓
2. Derivabilità in \((1; 3)\): Nell'intervallo aperto \((1; 3)\), la funzione coincide con \(f(x) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(\pi x)\), che è derivabile. ✓
3. Uguaglianza agli estremi: \[f(1) = 0\] \[f(3) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(3\pi) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(-1) = 0\] Quindi \(f(1) = f(3) = 0\). ✓

Tutte le ipotesi del teorema di Rolle sono soddisfatte.

Determinazione dell'ascissa \(c\) che verifica la tesi

Dobbiamo trovare \(c \in (1; 3)\) tale che \(f'(c) = 0\).

Nell'intervallo \((1; 3)\), abbiamo:

\[f'(x) = \frac{\pi}{2} \sin(\pi x)\]

Imponiamo \(f'(c) = 0\):

\[\frac{\pi}{2} \sin(\pi c) = 0\] \[\sin(\pi c) = 0\] \[\pi c = k\pi \quad \text{con } k \in \mathbb{Z}\] \[c = k\]

Nell'intervallo \((1; 3)\), l'unica soluzione intera è:

\[c = 2\]

Conclusione

Il teorema di Rolle è applicabile alla funzione \(f\) nell'intervallo \([1; 3]\).

L'ascissa del punto che verifica la tesi è: \(c = 2\)

Si noti che \(x = 2\) corrisponde al punto di minimo \(R_2\) visibile nel grafico, dove la tangente è orizzontale.

Soluzione del punto c

Insieme immagine della funzione \(f\)

Per determinare l'insieme immagine di \(f\) nell'intervallo \([0, 3]\), analizziamo il grafico:

Insieme immagine della funzione \(f\)

La funzione ha minimo assoluto \(-1\) e massimo assoluto \(\frac{1}{2}\) ed assume tutti i valori tra \(-1\) e \(\frac{1}{2}\) (come si può osservare dal grafico). Quindi:

\[\text{Im}(f) = \left[-1, \frac{1}{2}\right]\]

Numero di soluzioni dell'equazione \(f(x) = k\) al variare di \(k \in \mathbb{R}\)

Per determinare il numero di soluzioni dell'equazione \(f(x) = k\) con \(x \in [0, 3]\), tracciamo la retta orizzontale \(y = k\) e contiamo le intersezioni con il grafico di \(f\).

Dal grafico si osserva che:

Valore di \(k\)	Numero di soluzioni	Spiegazione
\(k < -1\)	0	La retta \(y = k\) non interseca il grafico
\(k = -1\)	2 coincidenti	La retta tocca il minimo assoluto in \(x = 2\) (tangente)
\(-1 < k < -\frac{1}{2}\)	2 distinte	La retta interseca il secondo tratto in due punti distinti
\(k = -\frac{1}{2}\)	4 (di cui 2 coincidenti)	La retta tocca il minimo locale in \(x = \frac{3}{4}\) (2 coincidenti) e interseca il secondo tratto in 2 punti distinti
\(-\frac{1}{2} < k \le 0\)	4 distinte	La retta interseca entrambi i tratti: 2 punti nel primo tratto, 2 nel secondo
\(0 < k < \frac{1}{2}\)	2	La retta interseca solo il primo tratto in 2 punti
\(k = \frac{1}{2}\)	2 coincidenti	La retta tocca il massimo assoluto \(P_1\) in \(x = \frac{1}{4}\) (tangente)
\(k > \frac{1}{2}\)	0	La retta non interseca il grafico

Conclusione

Insieme immagine: \(\text{Im}(f) = \left[-1, \frac{1}{2}\right]\)

Numero di soluzioni di \(f(x) = k\):

• \(0\) soluzioni se \(k < -1\) o \(k > \frac{1}{2}\)
• \(2\) soluzioni coincidenti (in \(x = 2\)) se \(k = -1\)
• \(2\) soluzioni distinte se \(-1 < k < -\frac{1}{2}\)
• \(4\) soluzioni (di cui 2 coincidenti in \(x = \frac{3}{4}\)) se \(k = -\frac{1}{2}\)
• \(4\) soluzioni distinte se \(-\frac{1}{2} < k \le 0\)
• \(2\) soluzioni se \(0 < k < \frac{1}{2}\)
• \(2\) soluzioni coincidenti (in \(x = \frac{1}{4}\)) se \(k = \frac{1}{2}\)

Soluzione del punto d

La funzione integrale è definita come:

\[F(x) = \int_0^x f(t) \, dt, \quad 0 \le x \le 3\]

Calcolo di \(F\left(\frac{1}{4}\right)\)

Dobbiamo calcolare:

\[F\left(\frac{1}{4}\right) = \int_0^{1/4} f(t) \, dt = \int_0^{1/4} \frac{1}{2} \sin(2\pi t) \, dt\]

Calcoliamo la primitiva:

\[\int \frac{1}{2} \sin(2\pi t) \, dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{-\cos(2\pi t)}{2\pi} = -\frac{\cos(2\pi t)}{4\pi}\]

Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale:

\[F\left(\frac{1}{4}\right) = \left[ -\frac{\cos(2\pi t)}{4\pi} \right]_0^{1/4} = -\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}{4\pi} + \frac{\cos(0)}{4\pi}\] \[F\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{0}{4\pi} + \frac{1}{4\pi} = \frac{1}{4\pi}\]

Calcolo di \(F(2)\)

Dobbiamo calcolare:

\[F(2) = \int_0^2 f(t) \, dt = \int_0^1 \frac{1}{2} \sin(2\pi t) \, dt + \int_1^2 \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(\pi t)\right) dt\]

Primo integrale (da 0 a 1):

\[\int_0^1 \frac{1}{2} \sin(2\pi t) \, dt = \left[ -\frac{\cos(2\pi t)}{4\pi} \right]_0^1 = -\frac{\cos(2\pi)}{4\pi} + \frac{\cos(0)}{4\pi} = -\frac{1}{4\pi} + \frac{1}{4\pi} = 0\]

Secondo integrale (da 1 a 2):

\[\int_1^2 \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(\pi t)\right) dt = \int_1^2 -\frac{1}{2} \, dt - \int_1^2 \frac{1}{2} \cos(\pi t) \, dt\] \[= \left[ -\frac{t}{2} \right]_1^2 - \left[ \frac{\sin(\pi t)}{2\pi} \right]_1^2\] \[= \left(-\frac{2}{2} + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{\sin(2\pi)}{2\pi} - \frac{\sin(\pi)}{2\pi}\right)\] \[= -\frac{1}{2} - (0 - 0) = -\frac{1}{2}\]

Quindi:

\[F(2) = 0 + \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\]

Determinazione delle aree \(R_1\) e \(R_2\)

Dal grafico si osservano due regioni:

• \(R_1\): regione delimitata dal grafico di \(f\) (sopra l'asse \(x\)) nell'intervallo \([0, \frac{1}{2}]\)
• \(R_2\): regione delimitata dal grafico di \(f\) (sotto l'asse \(x\)) nell'intervallo \([1, 3]\)

Area di \(R_1\):

L'area di \(R_1\) è data dall'integrale della funzione nell'intervallo \([0, \frac{1}{2}]\):

\[\text{Area}(R_1) = \int_0^{1/2} f(t) \, dt = \int_0^{1/2} \frac{1}{2} \sin(2\pi t) \, dt\] \[= \left[ -\frac{\cos(2\pi t)}{4\pi} \right]_0^{1/2} = -\frac{\cos(\pi)}{4\pi} + \frac{\cos(0)}{4\pi}\] \[= -\frac{(-1)}{4\pi} + \frac{1}{4\pi} = \frac{1}{4\pi} + \frac{1}{4\pi} = \frac{2}{4\pi} = \frac{1}{2\pi}\] \[\text{Area}(R_1) = \frac{1}{2\pi} \approx 0.159 \approx 0.16\]

Area di \(R_2\):

L'area di \(R_2\) è il valore assoluto dell'integrale della funzione nell'intervallo \([1, 3]\):

\[\text{Area}(R_2) = -\int_1^3 f(t) \, dt = -\int_1^3 \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(\pi t)\right) dt\] \[= -\left[\int_1^3 -\frac{1}{2} \, dt + \int_1^3 -\frac{1}{2}\cos(\pi t) \, dt\right]\] \[= -\left[\left[-\frac{t}{2}\right]_1^3 + \left[-\frac{\sin(\pi t)}{2\pi}\right]_1^3\right]\] \[= -\left[\left(-\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{\sin(3\pi)}{2\pi} + \frac{\sin(\pi)}{2\pi}\right)\right]\] \[= -\left[(-1) + (0 - 0)\right] = -(-1) = 1\]

Conclusione

\(F\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4\pi} \approx 0.08\)

\(F(2) = -\frac{1}{2}\)

\(\text{Area}(R_1) = \frac{1}{2\pi} \approx 0.16\)

\(\text{Area}(R_2) = 1\)