Soluzione del punto a

Imponiamo il passaggio per i punti (4, 8) e (16,0):

Imponiamo le condizioni che la funzione passi per il punto di massimo assoluto \((4,8)\) e abbia uno zero in \(x=16\). Questo ci porta alle seguenti equazioni sui parametri:
• Equazione 1 (da \(f(4)=8\)): \(4a + 2b + c = 8\)
• Equazione 2 (da \(f(16)=0\)): \(16a + 4b + c = 0\)

Calcoliamo la derivata prima:

Per trovare la terza equazione calcoliamo la derivata prima della funzione \(f(x)=ax+b\sqrt{x}+c\):
\(f'(x) = a + \frac{b}{2\sqrt{x}}\)

Imponiamo la condizione (necessaria) di massimo (osserviamo che la funzione è derivabile per x>0):

Un punto di massimo (incui esiste la derivata) ha la derivata prima uguale a zero. Poiché il massimo si trova in \(x=4\), imponiamo \(f'(4)=0\). Questo ci fornisce la terza equazione:
\(a + \frac{b}{2\sqrt{4}} = 0 \implies a + \frac{b}{4} = 0 \implies b = -4a\)

Abbiamo perciò un sistema di tre equazioni nelle tre incognite a, b, c:

Risolviamo il sistema di tre equazioni a tre incognite:
1. \(4a + 2b + c = 8\)
2. \(16a + 4b + c = 0\)
3. \(b = -4a\)
Sostituendo la terza equazione nelle prime due, e risolvendo il sistema, otteniamo i seguenti risultati:
\(a = -2\), \(b = 8\), \(c = 0\).
La funzione è quindi \(f(x) = -2x+8\sqrt{x}\).

Soluzione del punto b

Studio della funzione:

La funzione da studiare è \(f(x) = -2x+8\sqrt{x}\).

Dominio:

La presenza del termine \(\sqrt{x}\) richiede che l'argomento della radice quadrata sia non negativo. Pertanto, il dominio è \(x \ge 0\), ovvero l'intervallo \([0, +\infty)\).

Simmetria (Pari/Dispari):

La funzione non è né pari né dispari, poiché il suo dominio \([0, +\infty)\) non è simmetrico rispetto all'origine.

Intersezioni con gli assi cartesiani:

• **Asse y (x=0):** \(f(0) = -2(0)+8\sqrt{0} = 0\). L'intersezione è nell'origine \((0, 0)\).
• **Asse x (f(x)=0):** \(-2x+8\sqrt{x} = 0\). Mettendo in evidenza \(2\sqrt{x}\), si ottiene \(2\sqrt{x}(-\sqrt{x}+4)=0\).
  Le soluzioni sono \(2\sqrt{x}=0 \implies x=0\) e \(-\sqrt{x}+4=0 \implies \sqrt{x}=4 \implies x=16\).
  Le intersezioni sono \((0, 0)\) e \((16, 0)\).

Segno della funzione:

Dallo studio delle intersezioni, la funzione è positiva quando \(-2x+8\sqrt{x} > 0\). Semplificando, otteniamo \(-x+4\sqrt{x} > 0\). Dividendo per \(\sqrt{x}\) (per \(x>0\)), si ha \(-\sqrt{x}+4 > 0 \implies \sqrt{x} < 4 \implies x < 16\).
La funzione è positiva in \((0, 16)\), negativa per \(x > 16\) e nulla in \(x=0\) e \(x=16\).

Limiti agli estremi del dominio:

Dobbiamo calcolare il limite per \(x \to +\infty\):
\(\lim_{x \to +\infty} (-2x+8\sqrt{x})\). Mettendo in evidenza \(x\), si ottiene:
\(\lim_{x \to +\infty} x(-2+\frac{8}{\sqrt{x}}) = +\infty(-2+0) = -\infty\).

Asintoti:

Dato che \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\), verifichiamo la presenza di un asintoto obliquo:
\(m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x+8\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} (-2+\frac{8}{\sqrt{x}}) = -2\).
\(q = \lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx] = \lim_{x \to +\infty} [-2x+8\sqrt{x} - (-2x)] = \lim_{x \to +\infty} (8\sqrt{x}) = +\infty\).
Poiché \(q\) non è un valore finito, non ci sono asintoti obliqui. La funzione non presenta asintoti.

Calcolo della derivata prima:

\(f'(x) = -2 + \frac{8}{2\sqrt{x}} = -2 + \frac{4}{\sqrt{x}}\).

Il dominio della derivata prima è \(x > 0\), poiché il termine \(\sqrt{x}\) non può essere nullo al denominatore.

Per studiare il tipo di non derivabilità in \(x=0\), calcoliamo il limite della derivata prima per \(x\) che tende a \(0\) da destra:

\(\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(-2 + \frac{4}{\sqrt{x}}\right) = -2 + \frac{4}{0^+} = -2 + (+\infty) = +\infty\).

Poiché il limite della derivata prima per \(x \to 0^+\) è infinito, la funzione non è derivabile in \(x=0\). In questo punto, la funzione ha una **semitangente verticale**.

Studio del segno della derivata prima (monotonia):

Studiamo il segno di \(f'(x) = -2 + \frac{4}{\sqrt{x}}\). Poniamo \(f'(x) > 0\):
\(-2 + \frac{4}{\sqrt{x}} > 0 \implies \frac{4}{\sqrt{x}} > 2 \implies \sqrt{x} < 2 \implies x < 4\).
Ricordando che il dominio è \(x \ge 0\), la derivata prima è positiva in \([0, 4)\) e negativa in \((4, +\infty)\).
Questo ci dice che la funzione cresce in \([0, 4]\) e decresce in \([4, +\infty)\).
Per \(x=4\) la derivata si annulla, e il segno cambia da positivo a negativo, quindi in \(x=4\) si ha un punto di **massimo assoluto**.

Il valore del massimo è \(f(4) = -2(4)+8\sqrt{4} = -8+16=8\), quindi il punto di massimo è \((4,8)\), come richiesto dal punto a).

Studio della derivata seconda:

Calcoliamo la derivata seconda di \(f(x)\):
\(f''(x) = \frac{d}{dx} \left(-2 + 4x^{-\frac{1}{2}}\right) = 0 + 4 \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} = -2x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{2}{x\sqrt{x}}\).

Studio della concavità:

Il segno di \(f''(x) = -\frac{2}{x\sqrt{x}}\) è sempre negativo per ogni \(x\) nel dominio \((x > 0)\).
Questo significa che la funzione ha concavità rivolta verso il basso in tutto il suo dominio \((0, +\infty)\). Non ci sono punti di flesso.

Il grafico \(\gamma\) della funzione è quindi:

Studio del numero di soluzioni di f(x)=k:

Dal grafico della funzione, possiamo stabilire il numero di soluzioni dell'equazione \(f(x)=k\) in base ai valori del parametro reale \(k\).

• **Per \(k < 0\):** C'è una sola soluzione, poiché la retta \(y=k\) interseca il grafico in un solo punto.
• **Per \(k = 0\):** Ci sono due soluzioni distinte (\(x=0\) e \(x=16\)), che sono le intersezioni con l'asse delle ascisse.
• **Per \(0 < k < 8\):** Ci sono due soluzioni distinte, poiché la retta \(y=k\) interseca il grafico due volte.
• **Per \(k = 8\):** C'è una sola soluzione (due coincidenti) (\(x=4\)), che corrisponde al punto di massimo.
• **Per \(k > 8\):** Non ci sono soluzioni, poiché la retta \(y=k\) non interseca il grafico.

Soluzione del punto c

La funzione \(f(x)\) non è invertibile nel suo dominio completo \([0, +\infty)\) perché non è una funzione iniettiva. Come abbiamo visto, la funzione ha un punto di massimo in \(x=4\). Questo implica che ci sono valori di \(y\) (per \(0 \le y \le 8\)) che corrispondono a due diversi valori di \(x\). Ad esempio, \(f(0)=0\) e \(f(16)=0\), quindi la funzione non è iniettiva.

Per trovare l'intervallo di massima ampiezza, dobbiamo individuare dove la funzione (continua) è strettamente monotona (crescente o decrescente). I due intervalli principali di monotonia sono \([0, 4]\) (dove la funzione è crescente) e \([4, +\infty)\) (dove è decrescente). Il quesito richiede un intervallo **limitato**.

Possiamo quindi escludere \([4, +\infty)\), dove pure è invertibile, e confrontare l'ampiezza dei due intervalli limitati chiave in cui la funzione è monotona:

• Intervallo \([0, 4]\), con ampiezza \(4-0=4\).
• Intervallo \([4, 16]\) (che si trova all'interno della regione in cui la funzione è decrescente), con ampiezza \(16-4=12\).

Poiché l'intervallo \([4, 16]\) ha l'ampiezza maggiore, l'intervallo limitato di massima ampiezza in cui la funzione è invertibile è \([4, 16]\). Di conseguenza, la funzione inversa \(g\) sarà definita in corrispondenza del range di \(f\) su questo intervallo, che è \([0, 8]\).

Per determinare l'espressione analitica della funzione inversa \(g\), poniamo \(y = f(x) = -2x+8\sqrt{x}\) e risolviamo rispetto a \(x\). Riscriviamo l'equazione come \(2x-8\sqrt{x}+y=0\). Ponendo \(u=\sqrt{x}\) (con \(2 \le u \le 4\) dato che \(4 \le x \le 16\)), si ottiene un'equazione di secondo grado in \(u\): \(2u^2-8u+y=0\). Risolviamo per \(u\) con la formula risolutiva:

\(u = \frac{8 \pm \sqrt{64-8y}}{4}\).
Semplificando la radice, si ottiene \(u = \frac{8 \pm \sqrt{8(8-y)}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}\sqrt{8-y}}{4}\).
Semplificando ulteriormente, si ha \(u = \frac{4 \pm \sqrt{16-2y}}{2}\).
Dato che \(u \ge 2\), dobbiamo scegliere il segno positivo:
\(\sqrt{x} = 2 + \frac{\sqrt{16-2y}}{2}\).
Elevando al quadrato, si ottiene \(x = \left(2 + \frac{\sqrt{16-2y}}{2}\right)^2\).
Scambiando \(x\) e \(y\), l'espressione della funzione inversa è \(g(x) = \left(2 + \frac{\sqrt{16-2x}}{2}\right)^2\).

Il dominio della funzione \(g\) corrisponde all'intervallo dei valori che può assumere la funzione \(f\) in \([4, 16]\), ovvero \([f(16), f(4)] = [0, 8]\). Pertanto, il dominio di \(g\) è \([0, 8]\).

Il punto di \(g\) a tangente verticale si ottiene in corrispondenza del punto di \(f\) a tangente orizzontale. Abbiamo visto che \(f'(x)=0\) in \(x=4\), dove la funzione ha un massimo. Il punto di massimo è \((4,8)\). Di conseguenza, il punto sulla curva inversa \(g\) a tangente verticale ha coordinate scambiate, ovvero \((8,4)\).

Il grafico di \(g\) si ottiene per simmetria rispetto al grafico di \(f\) rispetto alla retta \(y=x\) nell'intervallo \([4, 16]\).

Osservazione

In realtà non esiste un intervallo chiuso e limitato "di massima ampiezza" in cui la funzione è invertibile. Se non fosse stato richiesto un intervallo limitato il più ampio intervallo in cui la funzione è invertibile sarebbe \([4, +\infty)\).

Soluzione del punto d

Per trovare l'equazione della retta tangente \(r\), dobbiamo seguiamo questi passaggi:

1. **Trovare il punto di tangenza \((x_0, y_0)\):**
   L'ascissa è data come \(x_0 = 1\). Sostituiamola nella funzione \(f(x) = -2x+8\sqrt{x}\) per trovare l'ordinata:
   \(y_0 = f(1) = -2(1) + 8\sqrt{1} = -2+8 = 6\).
   Il punto di tangenza è \((1, 6)\).
2. **Calcolare il coefficiente angolare \(m\):**
   Il coefficiente angolare della retta tangente è il valore della derivata prima nel punto \(x=1\). Abbiamo già calcolato la derivata prima: \(f'(x) = -2 + \frac{4}{\sqrt{x}}\).
   Sostituiamo \(x=1\):
   \(m = f'(1) = -2 + \frac{4}{\sqrt{1}} = -2+4 = 2\).
3. **Scrivere l'equazione della retta:**
   Usiamo la formula della retta per un punto e un coefficiente angolare, \(y - y_0 = m(x - x_0)\):
   \(y - 6 = 2(x - 1)\)
   \(y - 6 = 2x - 2\)
   \(y = 2x + 4\).

L'equazione della retta \(r\) tangente a \(\gamma\) nel punto di ascissa 1 è **\(y = 2x + 4\)**.

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Calcolo dell'area

Per calcolare l'area, dobbiamo impostare un integrale definito che rappresenti la differenza tra la funzione che si trova "sopra" e quella che si trova "sotto" nell'intervallo di interesse, che va da \(x=0\) (asse delle ordinate) a \(x=1\).

1. **Impostiamo l'integrale:**
   Nell'intervallo \([0, 1]\), la retta \(r(x) = 2x + 4\) si trova sopra la curva \(f(x) = -2x+8\sqrt{x}\). L'area è data da:
   \[Area = \int_{0}^{1} (r(x) - f(x)) dx = \int_{0}^{1} ((2x+4) - (-2x+8\sqrt{x})) dx\]
2. **Semplifichiamo:**
   \[Area = \int_{0}^{1} (2x+4+2x-8\sqrt{x}) dx = \int_{0}^{1} (4x+4-8x^{\frac{1}{2}}) dx\]
3. **Calcoliamo l'integrale indefinito:** \[\int (4x+4-8x^{\frac{1}{2}}) dx = 4\frac{x^2}{2} + 4x - 8\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 2x^2 + 4x - \frac{16}{3}x\sqrt{x} + C\]
4. **Calcoliamo l'integrale definito (teorema fondamentale del calcolo integrale):**
   \[Area = \left[ 2x^2 + 4x - \frac{16}{3}x\sqrt{x} \right]_{0}^{1}\] Valutiamo una primitiva agli estremi dell'intervallo:
   \[Area = \left(2(1)^2 + 4(1) - \frac{16}{3}(1)\sqrt{1}\right) - \left(2(0)^2 + 4(0) - \frac{16}{3}(0)\sqrt{0}\right)\] \[Area = \left(2+4-\frac{16}{3}\right) - (0) = 6 - \frac{16}{3} = \frac{18-16}{3} = \frac{2}{3}\]

L'area della regione delimitata da \(r\), da \(\gamma\) e dall’asse delle ordinate è **\(\frac{2}{3}\)**.

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Domande sulla funzione integrale

F ha un solo zero:

La funzione integrale \(F(x)\) calcola l'area tra la curva \(f(t)\) e l'asse delle ascisse nell'intervallo \([0, x]\). La funzione \(f(x)\) è positiva per \(x \in (0, 16)\) e negativa per \(x > 16\).

Per \(0 < x \le 16\), \(F(x)\) rappresenta un'area positiva e quindi cresce da \(F(0)=0\) a un valore massimo in \(x=16\). Per \(x > 16\), la funzione \(f(x)\) diventa negativa, e l'integrale inizia a sottrarre area, facendo decrescere \(F(x)\).

Poiché \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\), la parte negativa del grafico per \(x > 16\) avrà un'area illimitata. Questo garantisce che l'area negativa accumulata dopo \(x=16\) sarà sufficiente a compensare e superare l'area positiva accumulata nell'intervallo \([0, 16]\). Esisterà quindi un solo punto \(a > 16\) in cui l'area è nulla.

Questo punto \(a\) è l'unico zero della funzione \(F(x)\) per \(x > 0\).

F ha un solo punto stazionario:

Per il Teorema Fondamentale del Calcolo integrale, la derivata della funzione integrale \(F(x)\) è la funzione stessa che stiamo integrando, ovvero \(F'(x)=f(x)\).

Un punto stazionario di \(F(x)\) si ha quando la sua derivata prima è uguale a zero, cioè \(F'(x) = 0\). Questo si verifica quando \(f(x)=0\).

Abbiamo già dimostrato che la funzione \(f(x)\) ha un solo zero positivo, che è in \(x=16\). Pertanto, la funzione \(F(x)\) presenta un solo punto stazionario, esattamente in \(x=16\). Questo punto è un massimo, poiché \(F'(x)\) cambia segno da positivo a negativo in \(x=16\).

F ha un solo punto di flesso:

Un punto di flesso per \(F(x)\) si verifica dove la sua derivata seconda cambia segno. La derivata seconda di \(F(x)\) è la derivata prima di \(f(x)\): \(F''(x) = f'(x)\).

Abbiamo già studiato il segno di \(f'(x)\):
\(f'(x) > 0\) per \(0 < x < 4\) (la funzione \(f(x)\) cresce)
\(f'(x) < 0\) per \(x > 4\) (la funzione \(f(x)\) decresce)

Poiché \(f'(x)\) cambia segno in \(x=4\), anche \(F''(x)\) cambia segno in \(x=4\). Questo dimostra che \(F(x)\) ha un solo punto di flesso, che si trova in \(x=4\).