Soluzione quesito 1:

La somma degli angoli interni di un poligono regolare di \(n\) lati è data dalla formula \((n-2) \times 180°\). Sapendo che ogni angolo interno misura \(150°\), possiamo trovare il numero di lati \(n\) del poligono risolvendo l'equazione:

\[ \frac{(n-2) \times 180°}{n} = 150° \]

Risolviamo rispetto ad \(n\):

\[ 180n - 360 = 150n \]

\[ 30n = 360 \]

\[ n = 12 \]

Il poligono è un dodecagono regolare (ha 12 lati).

Ora possiamo calcolare il perimetro e l'area.

Perimetro

Il perimetro è semplicemente il numero di lati moltiplicato per la lunghezza del lato:

\[ \text{Perimetro} = 12 \times 4 \text{ cm} = 48 \text{ cm} \]

Area

Per l'area, usiamo la formula: Area = (perimetro \(\times\) apotema) / 2. Dobbiamo prima trovare l'apotema del poligono.

Congiungendo il centro del poligono con i vertici, otteniamo 12 triangoli isosceli. L'angolo al vertice di ciascun triangolo è \(360° / 12 = 30°\).

Consideriamo uno di questi triangoli, con O come centro e AB come base (lato del poligono). Il lato AH del triangolo rettangolo AHO è la metà del lato del poligono, quindi \(AH = 4 \text{ cm} / 2 = 2 \text{ cm}\).

L'angolo \(OAH\) è la metà dell'angolo interno, quindi \(150° / 2 = 75°\).

L'altezza OH (che è l'apotema) può essere calcolata usando la tangente dell'angolo \(OAH\):

\[ \tan(OAH) = \frac{OH}{AH} \]

\[ OH = AH \times \tan(75°) \]

Sappiamo che \(\tan(75°) = \tan(45° + 30°) = \frac{\tan(45°) + \tan(30°)}{1 - \tan(45°)\tan(30°)} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3-1} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}\).

Quindi l'apotema è:

\[ \text{Apotema} = 2 \times (2 + \sqrt{3}) \text{ cm} \]

Ora calcoliamo l'area:

\[ \text{Area} = \frac{\text{Perimetro} \times \text{Apotema}}{2} = \frac{48 \times 2(2 + \sqrt{3})}{2} \text{ cm}^2 \]

\[ \text{Area} = 48(2 + \sqrt{3}) \text{ cm}^2 \]

Soluzione quesito 2:

Il numero di palline totali è \(16\). Le palline estratte sono \(5\).

Il numero di cinquine possibili è dato dalle combinazioni di \(16\) oggetti a gruppi di \(5\):

\[ \binom{16}{5} = \frac{16!}{5!(16-5)!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4368 \]

Quindi, i casi totali sono \(4368\).

Metodo 1: Calcolo con l'evento complementare

L'evento complementare è che il numero più grande tra quelli estratti sia al massimo 9. Questo accade solo se tutte le 5 palline estratte sono scelte dal gruppo delle prime 9 palline (da 1 a 9).

Il numero di cinquine in cui il numero più grande è al massimo 9 è:

\[ \binom{9}{5} = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \]

La probabilità di questo evento complementare è:

\[ P(\text{max} \le 9) = \frac{126}{4368} \]

La probabilità che il numero più grande sia maggiore di 9 è la probabilità dell'evento complementare, ovvero \(1\) meno la probabilità appena calcolata:

\[ P(\text{max} > 9) = 1 - P(\text{max} \le 9) = 1 - \frac{126}{4368} = \frac{4368 - 126}{4368} = \frac{4242}{4368} = \frac{101}{104} \]

Metodo 2: Somma dei casi favorevoli

Le cinquine favorevoli sono quelle in cui il numero più grande estratto è maggiore di \(9\). Questo significa che la pallina con il numero più alto estratto può essere \(10, 11, 12, 13, 14, 15\) o \(16\).

• Se la pallina più grande è \(10\), le altre 4 palline devono essere scelte tra le \(9\) palline con numeri da \(1\) a \(9\): \[ \binom{9}{4} = 126 \]
• Se la pallina più grande è \(11\), le altre 4 palline devono essere scelte tra le \(10\) palline con numeri da \(1\) a \(10\): \[ \binom{10}{4} = 210 \]
• Se la pallina più grande è \(12\), le altre 4 palline devono essere scelte tra le \(11\) palline con numeri da \(1\) a \(11\): \[ \binom{11}{4} = 330 \]
• Se la pallina più grande è \(13\), le altre 4 palline devono essere scelte tra le \(12\) palline con numeri da \(1\) a \(12\): \[ \binom{12}{4} = 495 \]
• Se la pallina più grande è \(14\), le altre 4 palline devono essere scelte tra le \(13\) palline con numeri da \(1\) a \(13\): \[ \binom{13}{4} = 715 \]
• Se la pallina più grande è \(15\), le altre 4 palline devono essere scelte tra le \(14\) palline con numeri da \(1\) a \(14\): \[ \binom{14}{4} = 1001 \]
• Se la pallina più grande è \(16\), le altre 4 palline devono essere scelte tra le \(15\) palline con numeri da \(1\) a \(15\): \[ \binom{15}{4} = 1365 \]

Il numero totale di casi favorevoli è la somma dei casi sopra elencati:

\[ 126 + 210 + 330 + 495 + 715 + 1001 + 1365 = 4242 \]

La probabilità è data dal rapporto tra i casi favorevoli e i casi totali:

\[ P = \frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi totali}} = \frac{4242}{4368} = \frac{101}{104} \approx 0,971 \]

Entrambi i metodi portano allo stesso risultato.

Soluzione quesito 3:

Per risolvere entrambi i quesiti, utilizziamo il metodo dell'evento complementare. Invece di contare direttamente i casi favorevoli (numeri con la cifra desiderata), calcoliamo il totale dei casi possibili e sottraiamo i casi in cui la cifra non compare mai.

Numeri con la cifra "8" almeno una volta

I numeri naturali di tre cifre sono in totale \(900\) (da 100 a 999).

• La prima cifra può essere da \(1\) a \(9\) (9 possibilità).
• La seconda cifra può essere da \(0\) a \(9\) (10 possibilità).
• La terza cifra può essere da \(0\) a \(9\) (10 possibilità).

\[ \text{Totale dei numeri di 3 cifre} = 9 \times 10 \times 10 = 900 \]

Calcoliamo il totale dei numeri di tre cifre che non contengono la cifra "8":

• La prima cifra può essere da \(1\) a \(9\), escluso \(8\) (8 possibilità).
• La seconda cifra può essere da \(0\) a \(9\), escluso \(8\) (9 possibilità).
• La terza cifra può essere da \(0\) a \(9\), escluso \(8\) (9 possibilità).

\[ \text{Totale dei numeri di 3 cifre senza "8"} = 8 \times 9 \times 9 = 648 \]

Il numero di cifre con almeno un "8" è la differenza tra il totale e i numeri senza "8":

\[ \text{Totale dei numeri di 3 cifre con almeno un "8"} = 900 - 648 = 252 \]

Numeri con la cifra "0" almeno una volta

Il totale di numeri di tre cifre è sempre \(900\).

Calcoliamo il numero di cifre a tre cifre che non contengono la cifra "0":

• La prima cifra può essere da \(1\) a \(9\) (9 possibilità).
• La seconda cifra può essere da \(1\) a \(9\) (9 possibilità).
• La terza cifra può essere da \(1\) a \(9\) (9 possibilità).

\[ \text{Totale dei numeri senza "0"} = 9 \times 9 \times 9 = 729 \]

Il totale dei numeri con almeno uno "0" è la differenza tra il totale e i numeri senza "0":

\[ \text{Totale numeri con almeno uno "0"} = 900 - 729 = 171 \]

Riepilogo

Numeri che contengono almeno un "8": \(252\)

Numeri che contengono almeno uno "0": \(171\)

Soluzione quesito 4:

Per dimostrare che il piano è tangente alla sfera, è sufficiente verificare che la distanza del centro della sfera dal piano sia uguale al raggio della sfera.

Centro e raggio della sfera

L'equazione della sfera è \(x^2+ y^2+ z^2-2x+2y-4z-8=0\). Dalla forma generale dell'equazione della sfera \(x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0\), possiamo trovare il centro \(C\) e il raggio \(r\):

• Le coordinate del centro \(C\) sono \(C=(-a/2, -b/2, -c/2) = (1, -1, 2)\).
• Il raggio \(r\) è \(r = \sqrt{(-a/2)^2+(-b/2)^2+(-c/2)^2-d} = \sqrt{1^2+(-1)^2+2^2-(-8)} = \sqrt{1+1+4+8} = \sqrt{14}\).

Distanza del centro dal piano

Il piano ha equazione \(x+2y-3z-7=0\). La distanza \(d\) del centro \(C(1, -1, 2)\) dal piano si calcola con la formula:

\[ d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{|1(1) + 2(-1) - 3(2) - 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}} = \frac{|1 - 2 - 6 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{|-14|}{\sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14} \]

Poiché la distanza \(d\) è uguale al raggio \(r\), il piano è **tangente** alla superficie sferica.

Coordinate del punto di tangenza \(T\)

Il punto di tangenza \(T\) si trova all'intersezione del piano con la retta passante per il centro \(C\) e perpendicolare al piano. Questa retta ha come vettore direttore il vettore normale del piano, che è \(\vec{v} = (1, 2, -3)\). L'equazione parametrica della retta è:

\[ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 2 - 3t \end{cases} \]

Sostituendo queste equazioni nell'equazione del piano, troviamo il valore di \(t\) corrispondente al punto di tangenza:

\[ (1 + t) + 2(-1 + 2t) - 3(2 - 3t) - 7 = 0 \Rightarrow 14t - 14 = 0 \Rightarrow t = 1 \]

Sostituendo \(t=1\) nelle equazioni parametriche, otteniamo le coordinate di \(T\):

\[ \begin{cases} x_T = 1 + 1 = 2 \\ y_T = -1 + 2(1) = 1 \\ z_T = 2 - 3(1) = -1 \end{cases} \]

Il punto di tangenza è **\(T(2, 1, -1)\)**.

Equazione di una retta tangente alla superficie \(S\) nel punto \(T\)

Una retta tangente alla sfera nel punto \(T\) si trova sul piano tangente. Un modo per definire una di queste infinite rette è come intersezione di due piani: il piano di partenza (\(\pi_1\)) e un secondo piano (\(\pi_2\)) che contiene la retta e passa per il punto di tangenza.

Troviamo l'equazione del piano \(\pi_2\) che passa per il centro \(C(1, -1, 2)\), il punto di tangenza \(T(2, 1, -1)\) e un punto \(P(7, 0, 0)\) scelto arbitrariamente sul piano dato. Utilizziamo il metodo della sostituzione nell'equazione generale del piano \(Ax+By+Cz+D=0\).

Sostituendo le coordinate dei tre punti si ottiene il seguente sistema di equazioni:

\[ \begin{cases} 7A + D = 0 & \text{(per P)} \\ A - B + 2C + D = 0 & \text{(per C)} \\ 2A + B - C + D = 0 & \text{(per T)} \end{cases} \]

Risolvendo il sistema, si ottiene \(D = -7A\), \(B = 16A\) e \(C = 11A\). Scegliendo \(A=1\), l'equazione del piano \(\pi_2\) è:

\[ x + 16y + 11z - 7 = 0 \]

La retta tangente è l'intersezione dei due piani, \(\pi_1\) e \(\pi_2\). Risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni, otteniamo le equazioni parametriche di una retta tangente:

\[ \begin{cases} x+2y-3z-7=0 \\ x+16y+11z-7=0 \end{cases} \]

Sottraendo la prima equazione dalla seconda si ha \(14y+14z=0\), da cui \(y=-z\). Sostituendo nella prima equazione, si ottiene \(x-2z-3z-7=0 \Rightarrow x=5z+7\). Ponendo \(z=k\), le equazioni parametriche della retta sono:

\[ \begin{cases} x = 7 + 5k \\ y = -k \\ z = k \end{cases} \]

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Riepilogo delle risposte

Il piano è tangente alla sfera perché la distanza del centro dal piano è uguale al raggio (\(\sqrt{14}\)).

Il punto di tangenza è \(T(2, 1, -1)\).

L'equazione di una retta tangente è \( \begin{cases} x = 7 + 5k \\ y = -k \\ z = k \end{cases} \).

Soluzione quesito 5:

Affinché una funzione abbia un punto di flesso a tangente orizzontale, è necessario che in quel punto si annullino sia la derivata prima sia la derivata seconda della funzione.

1. Calcolo delle derivate

La funzione data è \(f_k(x)=\ln(1-kx)+kx^2\). Le sue derivate prima e seconda sono:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(1-kx)+kx^2) = \frac{1}{1-kx} \cdot (-k) + 2kx = \frac{-k}{1-kx} + 2kx \]

\[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{-k}{1-kx} + 2kx\right) = \frac{-k^2}{(1-kx)^2} + 2k \]

2. Determinazione di \(k\) e \(x\)

Imponiamo che entrambe le derivate si annullino, risolvendo il seguente sistema:

\[ \begin{cases} \frac{-k}{1-kx} + 2kx = 0 \quad (1) \\ \frac{-k^2}{(1-kx)^2} + 2k = 0 \quad (2) \end{cases} \]

Dall'equazione (1) si ottiene:

\[ 2kx = \frac{k}{1-kx} \]

Poiché \(k\) è non nullo per ipotesi, possiamo dividere entrambi i membri per \(k\):

\[ 2x = \frac{1}{1-kx} \quad (1a) \]

Dall'equazione (2) si ottiene:

\[ 2k = \frac{k^2}{(1-kx)^2} \]

Anche in questo caso, dividiamo per \(k\) (non nullo):

\[ 2 = \frac{k}{(1-kx)^2} \quad (2a) \]

Ora risolviamo il sistema formato da (1a) e (2a). Dall'equazione (1a) possiamo ricavare \(1-kx\):

\[ 1-kx = \frac{1}{2x} \]

Sostituiamo questa espressione nell'equazione (2a):

\[ 2 = \frac{k}{\left(\frac{1}{2x}\right)^2} \]

\[ 2 = \frac{k}{\frac{1}{4x^2}} \implies 2 = 4kx^2 \]

\[ kx^2 = \frac{1}{2} \]

Da questa relazione, possiamo esprimere \(k\) in termini di \(x\): \(k = \frac{1}{2x^2}\). Ora sostituiamo questa espressione per \(k\) nell'equazione (1a) per trovare \(x\):

\[ 2x = \frac{1}{1 - \left(\frac{1}{2x^2}\right)x} \implies 2x = \frac{1}{1 - \frac{1}{2x}} \]

\[ 2x = \frac{1}{\frac{2x-1}{2x}} \implies 2x = \frac{2x}{2x-1} \]

Dato che \(x \ne 0\), possiamo semplificare dividendo per \(2x\). Se infatti \(x\) fosse 0, la funzione originaria si ridurrebbe a \(f_k(0) = \ln(1-k \cdot 0) + k \cdot 0^2 = \ln(1) = 0\), non dipendendo quindi da \(k\):

\[ 1 = \frac{1}{2x-1} \implies 2x-1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \]

Infine, sostituiamo \(x=1\) nell'espressione per \(k\):

\[ k = \frac{1}{2(1)^2} = \frac{1}{2} \]

Risolvendo il sistema, troviamo che il punto di flesso a tangente orizzontale si ha per \(x=1\) e \(k=\frac{1}{2}\).

3. Verifica della condizione di flesso

Per essere certi che sia un punto di flesso, dobbiamo verificare che la derivata seconda cambi segno in un intorno di \(x=1\). Sostituiamo \(k=\frac{1}{2}\) nell'espressione della derivata seconda:

\[ f''\left(x\right) = \frac{-\left(\frac{1}{2}\right)^2}{\left(1-\frac{1}{2}x\right)^2} + 2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{(2-x)^2}{4}} + 1 = \frac{-1}{(2-x)^2} + 1 \]

Studiamo il segno di \(f''(x)\):

\[ f''(x) > 0 \iff \frac{-1}{(2-x)^2} + 1 > 0 \iff 1 > \frac{1}{(2-x)^2} \iff (2-x)^2 > 1 \]

Risolvendo la disequazione, otteniamo \(2-x > 1\) (ovvero \(x<1\)) o \(2-x < -1\) (ovvero \(x>3\)).

Il segno di \(f''(x)\) è:

• Positivo per \(x \in (-\infty, 1)\)
• Uguale a zero per \(x=1\)
• Negativo per \(x \in (1, 2)\)

Poiché la derivata seconda cambia segno in \(x=1\), questo è effettivamente un punto di flesso. Il valore di \(k\) che soddisfa la condizione richiesta è **\(\frac{1}{2}\)**.

Soluzione quesito 6:

Per risolvere questo problema, dobbiamo trovare il punto sulla curva \(\gamma\) in cui la retta tangente ha un coefficiente angolare che è l'anti-reciproco del coefficiente angolare della retta data.

1. Riscrivere la curva e calcolare la derivata

L'equazione della curva \(\gamma\) si può riscrivere come:

\[ y = \frac{3}{x} \]

Indichiamo con \(P = (t, \frac{3}{t})\) un generico punto della curva. La derivata di \(y\) rispetto a \(x\) è:

\[ y' = -\frac{3}{x^2} \]

Quindi, il coefficiente angolare della retta tangente in un punto \(P\) di ascissa \(t\) è \(m_{tangente} = -\frac{3}{t^2}\).

2. Trovare il coefficiente angolare della retta normale

La retta data ha equazione \(y=3x-8\), quindi il suo coefficiente angolare è \(m_{normale} = 3\). Poiché la retta data è normale (perpendicolare) alla curva nel punto cercato, il coefficiente angolare della retta tangente deve essere l'anti-reciproco di \(m_{normale}\):

\[ m_{tangente} = -\frac{1}{m_{normale}} = -\frac{1}{3} \]

3. Determinare le coordinate del punto

Per trovare il punto di contatto, uguagliamo il coefficiente angolare della tangente trovato al coefficiente angolare della tangente richiesto:

\[ -\frac{3}{t^2} = -\frac{1}{3} \]

Cerchiamo il valore di \(t\):

\[ 9 = t^2 \implies t = \pm 3 \]

Ora consideriamo i due possibili punti \(P\) sulla curva e verifichiamo quale dei due appartiene anche alla retta normale \(y=3x-8\):

• **Se \(t=3\),** il punto è \(P_1 = \left(3, \frac{3}{3}\right) = (3, 1)\). Sostituiamo le coordinate nella retta normale: \[ 1 = 3(3) - 8 \implies 1 = 9 - 8 \implies 1 = 1 \] L'uguaglianza è verificata, quindi questo è il punto richiesto.
• **Se \(t=-3\),** il punto è \(P_2 = \left(-3, \frac{3}{-3}\right) = (-3, -1)\). Sostituiamo le coordinate nella retta normale: \[ -1 = 3(-3) - 8 \implies -1 = -9 - 8 \implies -1 = -17 \] L'uguaglianza non è verificata.

Il punto in cui la retta di equazione \(y=3x-8\) è normale alla curva \(\gamma\) ha coordinate \(P=(3, 1)\) .

Metodo alternativo

Il punto in cui la retta data è normale a gamma appartiene sia a gamma che alla normale. Cerchiamo le intersezioni della normale con gamma:

Per trovare i punti di intersezione, risolviamo il sistema formato dalle due equazioni:

\[ \begin{cases} y = \frac{3}{x} \\ y = 3x-8 \end{cases} \]

Sostituiamo la prima equazione nella seconda:

\[ \frac{3}{x} = 3x - 8 \]

Moltiplichiamo entrambi i lati per \(x\) (assumendo \(x \neq 0\)):

\[ 3 = 3x^2 - 8x \]

Riordiniamo l'equazione in una forma quadratica:

\[ 3x^2 - 8x - 3 = 0 \]

Risolviamo questa equazione di secondo grado usando la formula quadratica \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\):

\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(3)(-3)}}{2(3)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6} \]

Abbiamo quindi due possibili valori per \(x\):

\[ x_1 = \frac{8+10}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{8-10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]

Ora calcoliamo i valori di \(y\) corrispondenti usando l'equazione \(y = 3/x\):

\[ y_1 = \frac{3}{3} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{3}{-1/3} = -9 \]

Abbiamo quindi due possibili punti di intersezione: \(P_1=(3, 1)\) e \(P_2=(-\frac{1}{3}, -9)\).

Per determinare quale di questi è il punto di contatto normale, calcoliamo la derivata di \(y=\frac{3}{x}\) in ogni punto:

\[ y' = -\frac{3}{x^2} \]

Calcoliamo il coefficiente angolare della tangente in \(P_1=(3, 1)\):

\[ m_{tangente, P_1} = y'(3) = -\frac{3}{3^2} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3} \]

Calcoliamo il coefficiente angolare della tangente in \(P_2=(-\frac{1}{3}, -9)\):

\[ m_{tangente, P_2} = y'(-\frac{1}{3}) = -\frac{3}{(-\frac{1}{3})^2} = -\frac{3}{\frac{1}{9}} = -27 \]

Il coefficiente angolare della retta normale data è \(m_{normale}=3\). Il coefficiente angolare della tangente nel punto di contatto deve essere l'anti-reciproco, ovvero \(-\frac{1}{3}\).

Solo il coefficiente angolare della tangente in \(P_1\) è uguale a \(-\frac{1}{3}\).

Quindi il punto richiesto è **\(P_1=(3, 1)\)**.

Soluzione quesito 7:

Le due espressioni che definiscono la funzione sono entrambe continue e derivabili nei rispettivi domini (\(x < 1\) e \(x > 1\)). Pertanto, perché la funzione sia continua e derivabile in tutto \(\mathbb{R}\), deve esserlo in particolare nel punto \(x=1\), dove le due espressioni si congiungono.

1. Condizione di continuità

Affinché la funzione sia continua in \(x=1\), il limite destro ed il limite sinistro in \(x=1\) devono essere uguali tra di loro ed uguali al valore della funzione in \(x=1\):

\[ \lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^+} f(x)=f(1)=2+a \]

\[ 2e^{1^2-1} + a = b(1)^2+1+2 \]

\[ 2e^0 + a = b+3 \]

\[ 2+a = b+3 \implies a-b=1 \quad (1) \]

2. Condizione di derivabilità

Perché la funzione sia derivabile in \(x=1\), le derivate da sinistra e da destra devono essere uguali. Calcoliamo le derivate delle due parti della funzione:

• Derivata per \(x < 1\): \[ f'(x) = 2e^{x^2-x} \cdot (2x-1) \]
• Derivata per \(x > 1\): \[ f'(x) = 2bx+1 \]

Uguagliando le derivate nel punto \(x=1\):

\[ \lim_{x\to 1^-} f'(x) = \lim_{x\to 1^+} f'(x) \]

\[ 2e^{1^2-1} \cdot (2(1)-1) = 2b(1)+1 \]

\[ 2e^0 \cdot (1) = 2b+1 \implies 2=2b+1 \implies b=\frac{1}{2} \quad (2) \]

3. Risoluzione del sistema

Sostituendo il valore di \(b\) dalla seconda equazione nella prima:

\[ a-\frac{1}{2}=1 \implies a = 1+\frac{1}{2} \implies a=\frac{3}{2} \]

I valori che rendono la funzione continua e derivabile in tutto \(\mathbb{R}\) sono **\(a=\frac{3}{2}\)** e **\(b=\frac{1}{2}\)**.

Soluzione quesito 8:

Per dimostrare che la curva è simmetrica rispetto al suo punto di flesso, seguiamo due passaggi principali: calcoliamo le coordinate del punto di flesso e verifichiamo la simmetria.

1. Calcolo del punto di flesso

Un punto di flesso si trova dove la derivata seconda della funzione si annulla e cambia di segno.

Calcoliamo la derivata prima della funzione \(y=\frac{2x+1}{x^2+x}\):

\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x+1}{x^2+x}\right) = \frac{2(x^2+x) - (2x+1)(2x+1)}{(x^2+x)^2} = \frac{-2x^2-2x-1}{(x^2+x)^2} \]

Ora calcoliamo la derivata seconda:

\[ y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{-2x^2-2x-1}{(x^2+x)^2}\right) = \frac{2(2x+1)(x^2+x+1)}{(x^2+x)^3} \]

Per trovare i punti di flesso, poniamo \(y'' = 0\), il che implica che il numeratore sia uguale a zero:

\[ 2(2x+1)(x^2+x+1) = 0 \]

L'equazione ha una sola soluzione reale: \(2x+1=0 \implies x=-\frac{1}{2}\). L'espressione \(x^2+x+1\) non ha radici reali. Sostituiamo questo valore nell'equazione della curva per trovare la coordinata y:

\[ y = \frac{2(-\frac{1}{2})+1}{(-\frac{1}{2})^2+(-\frac{1}{2})} = \frac{-1+1}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}} = \frac{0}{-\frac{1}{4}} = 0 \]

Il punto di flesso è \(P_F\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\).

2. Studio del segno della derivata seconda

Per confermare che \(P_F\) è un punto di flesso, studiamo il segno di \(y''\) in un suo intorno. Il segno di \(y''\) dipende dal segno di \(\frac{2x+1}{(x^2+x)^3}\).

Analizziamo il segno di ciascun fattore in una tabella:

Intervallo	\(2x+1\)	\((x^2+x)^3\)	Segno di \(y''\)
\(x < -1\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)
\(-1 < x < -\frac{1}{2}\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(-\frac{1}{2} < x < 0\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
\(x > 0\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)

La derivata seconda cambia segno in \(x=-\frac{1}{2}\) (da positiva a negativa), confermando che è un punto di flesso.

3. Dimostrazione della simmetria

Dimostriamo che la curva è simmetrica rispetto al punto di flesso \(P_F\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\) usando le equazioni di simmetria rispetto a un punto:

\[ x' = 2x_F - x \quad \text{e} \quad y' = 2y_F - y \]

Sostituendo le coordinate del nostro punto di flesso e ricavando \(x\) e \(y\):

\[ x = -1-x' \quad \text{e} \quad y = -y' \]

Sostituiamo queste espressioni nell'equazione di partenza \(y=\frac{2x+1}{x^2+x}\):

\[ -y' = \frac{2(-1-x')+1}{(-1-x')^2 + (-1-x')} \]

\[ -y' = \frac{-2-2x'+1}{1+2x'+x'^2 - 1-x'} \]

\[ -y' = \frac{-(2x'+1)}{x'^2+x'} \implies y' = \frac{2x'+1}{x'^2+x'} \]

Poiché l'equazione trasformata è identica a quella di partenza (a parte gli indici), la curva è simmetrica rispetto al suo punto di flesso.