Maturità sperimentale 1994-95

l. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è dato il A_o (1,0).

Si costruisca il triangolo rettangolo OA_oA₁ avente il vertice A₁ sull'asse delle ordinate e sia a l'angolo . Si conduca per A₁ la perpendicolare alla retta A_oA₁ che incontra l'asse delle ascisse in A₂; si conduca per A₂ la perpendicolare alla retta A₁A₂ che incontra l'asse delle ordinate in A₃ e così via, ottenendo una spezzata A_oA₁A₂A₃...A_n-1A_n, i cui vertici di indice dispari appartengono all'asse delle ordinate e quelli di indice pari all'asse delle ascisse.

Il candidato;

a) dimostri che le lunghezze dei lati della spezzata sono in progressione geometrica calcoli la lunghezza l_n della spezzata (la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di primo termine a_o e ragione q è );

b) determini il limite di l_n al tendere di n all'infinito distinguendo i due casi:

e verificando che nel caso 1) detto limite assume valore finito l (a );

c) Studi in detto caso, come varia l(a) al variare di a.

d) descriva una procedura che, con riferimento alla definizione di progressione geometrica, consenta di calcolare la lunghezza l_n della spezzata A_oA₁A₂A₃...A_n-1A_n e la codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.

2. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy si consideri la parabola G di equazione

e sia P il punto di G di ascissa l

Il candidato:

1. scriva l'equazione della parabola passante per l'origine O e avente il vertice nel punto P;
2. determini l'equazione della curva S, luogo geometrico del fuoco della parabola al variare di l;
3. tracci il grafico della curva S individuandone in particolare il flesso F;
4. detta r la retta per F e per il punto A, di ascissa -1, della curva S, calcoli l'area della regione finita di piano delimitata da S ed r;
5. dica l'errore relativo che si commette assumendo come area di detta regione quella del triangolo inscritto OFA.

3. Nella tabella seguente sono riportati i dati di un'indagine campionaria, relativamente ad alcune regioni e al 1990, sulla distribuzione delle abitazioni secondo la superficie abitata (area espressa in metri quadrati):

Il candidato:

1. stimi la superficie media abitata nelle tre regioni e la deviazione standard delle stime, assumendo come valore rappresentativo di ogni classe il valore medio;
2. rappresenti mediante diagrammi opportuni le distribuzioni marginali, rispettivamente per regione e per superficie;
3. verifichi l'ipotesi:

H^o: non c'è differenza significativa (5%) tra le medie delle superfici nelle diverse regioni;
4. verifichi l'ipotesi:

H^o: non c'è differenza significativa (5%) tra le distribuzioni relative alle diverse regioni.