Maturità sperimentale 1994-95

 

l. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è dato il Ao (1,0).

Si costruisca il triangolo rettangolo OAoA1 avente il vertice A1 sull'asse delle ordinate e sia a l'angolo . Si conduca per A1 la perpendicolare alla retta AoA1 che incontra l'asse delle ascisse in A2; si conduca per A2 la perpendicolare alla retta A1A2 che incontra l'asse delle ordinate in A3 e così via, ottenendo una spezzata AoA1A2A3...An-1An, i cui vertici di indice dispari appartengono all'asse delle ordinate e quelli di indice pari all'asse delle ascisse.

Il candidato;

a) dimostri che le lunghezze dei lati della spezzata sono in progressione geometrica calcoli la lunghezza ln della spezzata (la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di primo termine ao e ragione q è );

b) determini il limite di ln al tendere di n all'infinito distinguendo i due casi:

e verificando che nel caso 1) detto limite assume valore finito l (a );

c) Studi in detto caso, come varia l(a) al variare di a.

d) descriva una procedura che, con riferimento alla definizione di progressione geometrica, consenta di calcolare la lunghezza ln della spezzata AoA1A2A3...An-1An e la codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.


 

2. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy si consideri la parabola G di equazione

e sia P il punto di G di ascissa l

Il candidato:

  1. scriva l'equazione della parabola passante per l'origine O e avente il vertice nel punto P;
  2. determini l'equazione della curva S, luogo geometrico del fuoco della parabola al variare di l;
  3. tracci il grafico della curva S individuandone in particolare il flesso F;
  4. detta r la retta per F e per il punto A, di ascissa -1, della curva S, calcoli l'area della regione finita di piano delimitata da S ed r;
  5. dica l'errore relativo che si commette assumendo come area di detta regione quella del triangolo inscritto OFA.

 

3. Nella tabella seguente sono riportati i dati di un'indagine campionaria, relativamente ad alcune regioni e al 1990, sulla distribuzione delle abitazioni secondo la superficie abitata (area espressa in metri quadrati):

Superficie

Regione

50-95 mq 96-110 mq 111-130 mq 131-200 mq
Liguria

130

11

6

5

Campania

362

1805

105

122

Sicilia

1068

430

203

149

 

Il candidato:

  1. stimi la superficie media abitata nelle tre regioni e la deviazione standard delle stime, assumendo come valore rappresentativo di ogni classe il valore medio;
  2. rappresenti mediante diagrammi opportuni le distribuzioni marginali, rispettivamente per regione e per superficie;
  3. verifichi l'ipotesi:

  4. Ho: non c'è differenza significativa (5%) tra le medie delle superfici nelle diverse regioni;
  5. verifichi l'ipotesi:

  6. Ho: non c'è differenza significativa (5%) tra le distribuzioni relative alle diverse regioni.