l. E' dato in un piano a il triangolo ABC retto in B, con i lati AB = a, BC =2a. Si conducano in uno dei semispazi individuati dal piano a i segmenti AA', BB', CC' perpendicolari ad a, tali che AA' = BB' = 4a e l'angolo BB' C'=p / 4.

Il candidato:

1. indicato con P un punto del segmento BB' e posto BP = x, studi come varia la somma

b) dimostri che la faccia A'B'C' del solido T di vertici ABCA'B'C' è un triangolo rettangolo;

c) calcoli la superficie totale ed il volume di T.

2. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è assegnato il punto A(a,-a).

Il candidato:

a) scriva l'equazione della circonferenza G di centro A che stacca sull'asse

delle ascisse un segmento di lunghezza ;

b) intersechi G con l'iperbole S di equazione xy - 1 = 0 e, osservando che l'equazione risolvente del sistema delle equazioni delle due curve è il quadrato di un trinomio, deduca che al variare di a le curve G' e S sono bitangenti tra loro in due punti distinti B e C;

c) individui le circonferenze G ₁ e G ₂ che si ottengono per quei valori di a per cui il segmento BC dista dal centro della circonferenza di cui è corda 3/10 del segmento stesso;

d) calcoli l'area della regione finita di piano delimitata dalle rispettive corde BC di G ₁ e G ₂ e della curva S.

3. Nella tabella seguente sono riportate le distribuzioni delle durate in anni (n=numero degli anni) delle pene per i condannati nel 1990 ad almeno un anno di carcerazione (escluso l'ergastolo), suddiviso per sesso, secondo una indagine campionaria:

Il candidato:

1. stimi la durata media delle pene per maschi e femmine e le rispettive deviazione standard, assumendo come valore rappresentativo di ogni classe il valor medio;
2. rappresenti mediante diagrammai opportuni le distribuzioni marginali per sesso e per durata;
3. verifichi l'ipotesi:

H^o: non c'è differenza significativa (5%) tra le distribuzioni relative alla durata delle pene per maschi e femmine;

4. verifichi l'ipotesi: