Maturità sperimentale 1995-96

l. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) sono assegnati i punti

A (2, 0) e B (0,4). Sia P(x,y ) un punto di detto piano con x>0 ed y>0, e C, D, E, F i punti medi dei lati OA, AP, PB, BO del quadrilatero OAPB.

Il candidato:

a) dica quali posizioni deve occupare P affinché il quadrilatero OAPB degeneri in triangolo;

b) dimostri che il quadrilatero CDEF è un parallelogrammo;

e) dica quali posizioni deve occupare P affinché il parallelogrammo CDEF sia un rettangolo;

d) dica quali posizioni deve occupare P affinché il parallelogrammo CDEF sia un rombo;

e) dica dove si trova P quando il parallelogrammo CDEF è un quadrato e ne determini le coordinate;

f) dimostri che l'area del parallelogrammo CDEF è metà dell'area del quadrilatero OAPB;

g) esprima in funzione dell'ascissa di P il rapporto z tra l'area del quadrato di lato EF e l'area del parallelogrammo CDEF, quando P, oltre a rispettare le condizioni inizialmente assegnate, appartiene alla retta di equazione y = 4-x;

h) studi la funzione z(x) e ne disegni il grafico in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali O'xz.

2. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (O xy ) è assegnata la parabola di equazione:

y = -x² +2x +3

Sia P(x, y) un punto dell'arco , appartenente al primo quadrante, di detta parabola ed H la proiezione di P sull'asse delle ascisse.

Sul piano passante per il punto P e perpendicolare all'asse delle ascisse, si consideri il triangolo APB, avente i lati AP e PB uguali, il segmento PH come altezza relativa al lato AB, e tale che la somma delle lunghezze di AB e di PH sia 4.

Il candidato

a) dica quali posizioni deve occupare P sull'arco considerato affinché il triangolo APB esista;

b) limitatamente alle suddette posizioni di P, esprima l'area S del triangolo APB in funzione dell'ascissa di P e studi come essa varia al variare di P;

c) calcoli il volume del solido, luogo del triangolo APB al variare di P sull'arco ;

d) risponda alle domande a) e b) quando P varia sull'arco della parabola considerata, appartenente al semipiano , verificando in particolare se esistono estremi relativi ed assoluti di S(x) ed eventualmente determinandoli.

3. Paolo e Giovanni sono due amici appassionati di tiro con l'arco: Paolo colpisce il centro del bersaglio nel 75 % dei casi, Giovanni nell'80 %.

Decidono di fare una gara osservando le seguenti regole:

- lanceranno una moneta per decidere chi tirerà per primo: se esce testa sarà Paolo, se esce croce sarà Giovanni.

- tireranno a turno e vincerà chi per primo farà centro.

Il candidato:

a) calcoli la probabilità che Giovanni vinca al quinto tiro;

b) calcoli la probabilità che Paolo vinca entro il quarto tiro;

c) se in un certo tiro fissato, ad esempio il quindicesimo, si ottiene centro per la rima volta,

calcoli la probabilità che a tirare sia stato Paolo;

d) descriva una procedura che consenta di calcolare la probabilità che Paolo vinca all'ennesimo lancio se ad iniziare è stato Giovanni, e la codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.