Maturità sperimentale 1998- Soluzione quesito 3
l = lunghezza barra (variabile aleatoria con distribuzione normale): valore ottimale 5 m
m1 = 5 m (valor medio di l)
s1 =
4 cm = 0.04 m (deviazione standard di l)
d = diametro della sezione della barra (variabile aleatoria con distribuzione normale): valore ottimale 4 cm
m2 = 4 cm (valor medio di d)
s2 = 0.8
cm (deviazione standard di d)
Una barra prodotta può essere direttamente venduta senza modifiche se
4.95 m £ l £ 5.05 m
2.8 cm £ d £ 5.2 cm
a)
Standardizziamo le variabili:
l1 = 4.95 => L1 = -1.25
l2 = 5.05 => L2 =+1.25
d1 = 2.8 => D1 = -1.5
d2 = 5.05 => D2 =+1.5
La probabilità che la lunghezza cada nell'intervallo richiesto è:
p1 = p(4.95 £ l £ 5.05) = p(-1.25 £ L £ +1.25) = F(1.25) - F(-1.25) = 0.894 - 0.106 = 0.788
La probabilità che il diametro della sezione cada nell'intervallo richiesto è:
p2 = p(2.8 £ l £ 5.2) = p(-1.5 £ D £ +1.5) = F(1.5) - F(-1.5) = 0.933 - 0.067 = 0.866
La probabilità che entrambi i valori cadano negli intervalli richiesti è data da
p = p1 * p2 = 0.788 * 0.866 = 0.68 ( come richiesto)
b)
Poniamo
avendo indicato con n il numero delle barre prodotte e con k il numero delle barre vendute direttamente
(k = 0,1, ... , n)
Si chiede di trovare n in funzione di p in modo che risulti
che equivale a trovare il più piccolo valore di n tale che la probabilità che la frequenza relativa differisca dalla probabilità teorica per più di 0.05 sia piccola; come dire il valore di n per cui la frequenza relativa è molto prossima alla probabilità teorica.
La relazione precedente è equivalente alla seguente
che non è altro che il teorema di Bernoulli, secondo cui:
(ciò vuol dire che "per n grande" la frequenza relativa è molto prossima alla probabilità teorica).
Ma in base alla cosiddetta disuguaglianza di Bienaymé-Cebicev, data una variabile aleatoria X di valor medio m e varianza s2, risulta:
p( |X-m| £ e) > 1- s2/e2
X= k/n essendo
M(k/n) = (1/n) M(k) = (1/n) (np) = p
(k è una variabile bernoulliana)
s2= s2(
k/n) = (1/n2) s2(k) = (1/n2) npq = p(1-p)/nSi ha pertanto
da cui si ricava
Il più piccolo valore di n richiesto è quindi il secondo membro della precedente disuguaglianza, che il più piccolo valore di n necessario affinché la frequenza relativa differisca di poco dalla probabilità teorica.
c)
Con n=2000 e p=0.68 nella precedente relazione si ottiene
2000 ³ 1740.8 che è vero: ciò vuol dire che con n=2000 è poco probabile (probabilità non superiore a 0.05) che la frequenza relativa differisca dalla probabilità teorica per più di 0.05; ma la frequenza calcolata con i dati indicati (k=1000 e n=2000) risulta pari a 0.5 mentre la probabilità teorica è 0.68, con una differenza pari a 0.18>0.05.
Si conclude che c'è il sospetto che la macchina non funzioni secondo lo standard indicato.
d)
La probabilità richiesta è data da
(1-p)n-1 * p
La procedura richiesta è quindi immediata. Ne indichiamo un frammento in linguaggio di progetto:
Inizio
leggi(p,n); i<--1; prob<--p; Ripeti prob<--prob*(1-p) i<--i+1 Finché (i=n);
scrivi(prob) Fine.
La traduzione in Pascal è semplice.